En matemáticas , existe una amplia oferta de dualidades categóricas entre ciertas categorías de espacios topológicos y categorías de conjuntos parcialmente ordenados . Hoy en día, estas dualidades generalmente se recopilan bajo la etiqueta Dualidad de Stone , ya que forman una generalización natural del teorema de representación de Stone para las álgebras de Boole . Estos conceptos se nombran en honor a Marshall Stone . Las dualidades de tipo piedra también proporcionan la base para una topología sin sentido y se explotan en la informática teórica para el estudio de la semántica formal .
Este artículo da indicaciones sobre casos especiales de dualidad Stone y explica en detalle un ejemplo muy general de la misma.
Descripción general de las dualidades de tipo piedra
Probablemente la dualidad más general a la que clásicamente se hace referencia como "dualidad de piedra" es la dualidad entre la categoría Sob de espacios sobrios con funciones continuas y la categoría SFrm de marcos espaciales con homomorfismos de marco apropiados. La categoría dual de SFrm es la categoría de locales espaciales denotada por SLoc . La equivalencia categórica de Sob y SLoc es la base del área matemática de la topología sin sentido , que se dedica al estudio de Loc , la categoría de todas las localizaciones , de la cual SLoc es una subcategoría completa. Las construcciones involucradas son características de este tipo de dualidad y se detallan a continuación.
Ahora, uno puede obtener fácilmente una serie de otras dualidades restringiendo a ciertas clases especiales de espacios sobrios:
- La categoría CohSp de espacios sobrios coherentes (y mapas coherentes) es equivalente a la categoría CohLoc de lugares coherentes (o espectrales) (y mapas coherentes), en el supuesto del teorema del ideal primo booleano (de hecho, esta afirmación es equivalente a que suposición). La importancia de este resultado se deriva del hecho de que CohLoc, a su vez, es dual con la categoría DLat 01 de redes distributivas acotadas . Por tanto, DLat 01 es dual a CohSp —se obtiene el teorema de representación de Stone para retículas distributivas .
- Al restringir aún más a los espacios coherentes y sobrios que son Hausdorff , se obtiene la categoría Piedra de los llamados espacios de Piedra . En el lado de DLat 01 , la restricción produce la subcategoría Bool de álgebras booleanas . Así se obtiene el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole .
- La representación de Stone para celosías distributivas se puede extender a través de una equivalencia de espacios coherentes y espacios de Priestley (espacios topológicos ordenados, que son compactos y totalmente desconectados del orden). Se obtiene una representación de celosías distributivas a través de topologías ordenadas: teorema de representación de Priestley para celosías distributivas .
A estas dualidades básicas se podrían agregar muchas otras dualidades de tipo Piedra.
Dualidad de espacios sobrios y locales espaciales
La celosía de los conjuntos abiertos
El punto de partida para la teoría es el hecho de que cada espacio topológico se caracteriza por un conjunto de puntos X y una Ω sistema ( X ) de conjuntos abiertos de los elementos de X , es decir, un subconjunto de la powerset de X . Se sabe que Ω ( X ) tiene ciertas propiedades especiales: es un entramado completo dentro del cual los infima suprema y finito están dados por uniones de conjuntos e intersecciones de conjuntos finitos, respectivamente. Además, contiene tanto X como el conjunto vacío . Dado que la incrustación de Ω ( X ) en el entramado de potencias de X conserva infima finito y suprema arbitrario, Ω ( X ) hereda la siguiente ley de distributividad:
para cada elemento (conjunto abierto) x y cada subconjunto S de Ω ( X ). Por lo tanto, Ω ( X ) no es un entramado completo arbitrario, sino un álgebra de Heyting completa (también llamada marco o configuración regional ; los diversos nombres se utilizan principalmente para distinguir varias categorías que tienen la misma clase de objetos pero diferentes morfismos: morfismos de marco, morfismos de configuración regional y homomorfismos de álgebras de Heyting completas). Ahora bien, una pregunta obvia es: ¿Hasta qué punto se caracteriza un espacio topológico por su ubicación de conjuntos abiertos?
Como ya se indicó anteriormente, se puede ir aún más lejos. La categoría Top de espacios topológicos tiene como morfismos las funciones continuas, donde una función f es continua si la imagen inversa f −1 ( O ) de cualquier conjunto abierto en el codominio de f está abierta en el dominio de f . Así, cualquier función continua f desde un espacio X a un espacio Y define un mapeo inverso f −1 de Ω ( Y ) a Ω ( X ). Además, es fácil comprobar que f −1 (como cualquier mapa de imagen inverso) conserva intersecciones finitas y uniones arbitrarias y, por tanto, es un morfismo de fotogramas . Si definimos Ω ( f ) = f −1 entonces Ω se convierte en un funtor contravariante de la categoría Top a la categoría Frm de marcos y morfismos de marco. Usando las herramientas de la teoría de categorías, la tarea de encontrar una caracterización de los espacios topológicos en términos de sus redes de conjuntos abiertos es equivalente a encontrar un funtor de Frm a Top que sea adjunto a Ω.
Puntos de una localidad
El objetivo de esta sección es definir un funtor pt de Frm a Top que en cierto sentido "invierte" la operación de Ω asignando a cada locale L un conjunto de puntos pt ( L ) (de ahí la notación pt) con un adecuado topología. Pero, ¿cómo podemos recuperar el conjunto de puntos solo del entorno local, aunque no se da como una red de conjuntos? Es cierto que, en general, no se puede esperar que pt pueda reproducir todos los elementos originales de un espacio topológico solo a partir de su red de conjuntos abiertos; por ejemplo, todos los conjuntos con la topología indiscreta producen (hasta el isomorfismo) la misma ubicación, de modo que la información sobre el conjunto específico ya no está presente. Sin embargo, todavía existe una técnica razonable para obtener "puntos" de un lugar, que de hecho da un ejemplo de una construcción central para los teoremas de dualidad tipo Stone.
Veamos primero en los puntos de un espacio topológico X . Por lo general, uno se siente tentado a considerar un punto de X como un elemento x del conjunto X , pero de hecho existe una descripción más útil para nuestra investigación actual. Cualquier punto x da lugar a una función continua p x desde el espacio topológico 1 de un elemento (todos los subconjuntos están abiertos) al espacio X definiendo p x (1) = x . Por el contrario, cualquier función de 1 a X determina claramente un punto: el elemento al que "apunta". Por lo tanto, el conjunto de puntos de un espacio topológico se caracteriza de forma equivalente como el conjunto de funciones de 1 a X .
Cuando se usa el funtor Ω para pasar de Top a Frm , todos los elementos de la teoría de conjuntos de un espacio se pierden, pero, usando una idea fundamental de la teoría de categorías, también se puede trabajar en los espacios funcionales . De hecho, cualquier "punto" p x : 1 → X en Top se asigna a un morfismo Ω ( p x ): Ω ( X ) → Ω (1). La celosía de conjunto abierto del espacio topológico de un elemento Ω (1) es solo (isomorfo a) la configuración regional de dos elementos 2 = {0, 1} con 0 <1. Después de estas observaciones, parece razonable definir el conjunto de puntos de un lugar L para ser el conjunto de morfismos de marco de L a 2. Sin embargo, no hay garantía de que cada punto del lugar Ω ( X ) esté en correspondencia uno a uno con un punto del espacio topológico X (considere de nuevo la topología indiscreta, para la cual la celosía de conjunto abierto tiene un solo "punto").
Antes de definir la topología requerida en pt ( X ), vale la pena aclarar más el concepto de un punto de una configuración regional. La perspectiva motivada anteriormente sugiere considerar un punto de un lugar L como un morfismo de marco p de L a 2. Pero estos morfismos se caracterizan de manera equivalente por las imágenes inversas de los dos elementos de 2. A partir de las propiedades de los morfismos de marco, se puede derivar que p −1 (0) es un conjunto inferior (ya que p es monótono ), que contiene un elemento mayor a p = V p −1 (0) (ya que p conserva suprema arbitrario). Además, el ideal principal p −1 (0) es un ideal primo ya que p conserva infima finitos y, por lo tanto, el principal a p es un elemento meet-prime . Ahora, el conjunto inverso de p −1 (0) dado por p −1 (1) es un filtro completamente primo porque p −1 (0) es un ideal primo principal. Resulta que todas estas descripciones determinan de forma única el morfismo del marco inicial. Resumimos:
- Un punto de una configuración regional L se describe de manera equivalente como:
- un morfismo de cuadro de L a 2
- un ideal primo principal de L
- un elemento principal de encuentro de L
- un filtro completamente primordial de L .
Todas estas descripciones tienen su lugar dentro de la teoría y es conveniente cambiar entre ellas según sea necesario.
El functor pt
Ahora que hay un conjunto de puntos disponible para cualquier localidad, queda equipar este conjunto con una topología adecuada para definir la parte del objeto del functor pt. Esto se hace definiendo los conjuntos abiertos de pt ( L ) como
- φ ( a ) = { p ∈ pt ( L ) | p ( a ) = 1},
para cada elemento de una de L . Aquí vimos los puntos de L como morfismos, pero, por supuesto, se puede establecer una definición similar para todas las demás caracterizaciones equivalentes. Se puede demostrar que el ajuste Ω (pt ( L )) = {φ ( a ) | a ∈ L } realmente produce un espacio topológico (pt ( L ), Ω (pt ( L ))). Es común abreviar este espacio como pt ( L ).
Finalmente, pt se puede definir en morfismos de Frm de manera bastante canónica definiendo, para un morfismo de cuadro g de L a M , pt ( g ): pt ( M ) → pt ( L ) como pt ( g ) ( p ) = p o g . En palabras, obtenemos un morfismo de L a 2 (un punto de L ) aplicando el morfismo g para ir de L a M antes de aplicar el morfismo p que mapea de M a 2. Nuevamente, esto se puede formalizar usando las otras descripciones de puntos de una localidad también; por ejemplo, simplemente calcule ( p o g ) −1 (0).
El adjunto de Top y Loc
Como se señaló varias veces antes, pt y Ω generalmente no son inversos. En general, X no es homeomorfo a pt (Ω ( X )) ni L es isomorfo de orden a Ω (pt ( L )). Sin embargo, al introducir la topología de pt ( L ) anterior, se aplicó un mapeo φ de L a Ω (pt ( L )). Este mapeo es de hecho un morfismo de marco. A la inversa, podemos definir una función continua ψ de X a pt (Ω ( X )) estableciendo ψ ( x ) = Ω ( p x ), donde p x es solo la función característica para el punto x de 1 a X como se describe sobre. Otra descripción conveniente la dan los puntos de vista de un lugar como elementos de encuentro primos. En este caso tenemos ψ ( x ) = X \ Cl { x }, donde Cl { x } denota el cierre topológico del conjunto { x } y \ es simplemente diferencia de conjuntos.
En este punto ya tenemos datos más que suficientes para obtener el resultado deseado: los functores Ω y pt definen una adjunción entre las categorías Top y Loc = Frm op , donde pt es adyacente a Ω y las transformaciones naturales ψ y φ op proporcionan la unidad requerida y el contador, respectivamente.
El teorema de la dualidad
El adjunto anterior no es una equivalencia de las categorías Top y Loc (o, de manera equivalente, una dualidad de Top y Frm ). Para ello es necesario que tanto ψ como φ sean isomorfismos en sus respectivas categorías.
Para un espacio X , ψ: X → pt (Ω ( X )) es un homeomorfismo si y solo si es biyectivo . Usando la caracterización a través de elementos meet-prime de la celosía de conjuntos abiertos, se ve que este es el caso si y solo si cada conjunto abierto meet-prime tiene la forma X \ Cl { x } para una x única . Alternativamente, cada conjunto cerrado join-prime es el cierre de un punto único, donde "join-prime" puede ser reemplazado por (join-) irreducible ya que estamos en una red distributiva. Los espacios con esta propiedad se denominan sobrios .
Por el contrario, para un entorno local L , φ: L → Ω (pt ( L )) es siempre sobreyectiva. Es adicionalmente inyectivo si y solo si dos elementos a y b de L para los cuales a no es menor o igual ab pueden estar separados por puntos de la configuración regional, formalmente:
- si no a ≤ b , entonces hay un punto p en pt ( L ) tal que p ( a ) = 1 yp ( b ) = 0.
Si se cumple esta condición para todos los elementos de la configuración regional, entonces la configuración regional es espacial o se dice que tiene suficientes puntos. (Consulte también la categoría bien indicada para una afección similar en categorías más generales).
Finalmente, se puede verificar que para cada espacio X , Ω ( X ) es espacial y para cada lugar L , pt ( L ) es sobrio. Por lo tanto, se deduce que el adjunto anterior de Top y Loc se restringe a una equivalencia de las subcategorías completas Sob de espacios sobrios y SLoc de lugares espaciales. Este resultado principal se completa con la observación de que para el functor pt o Ω, el envío de cada espacio a los puntos de su celosía de conjunto abierto se deja adjunto al functor de inclusión de Sob a Top . Para un espacio X , pt (Ω ( X )) se denomina soberificación . El caso del funtor Ω o pt es simétrico, pero no se suele utilizar un nombre especial para esta operación.
Referencias
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- PT Johnstone , Stone Spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press , Cambridge, 1982. ISBN 0-521-23893-5 .
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .
- Vickers, Steven (1989). Topología vía lógica . Cambridge Tracts en Informática Teórica. 5 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001 .
- Dualidad de piedra abstracta
- Caramello, Olivia (2011). "Un enfoque topos-teórico de las dualidades de tipo piedra". arXiv : 1103.3493 [ math.CT ].