En topología diferencial , una rama de las matemáticas , las condiciones de Whitney son condiciones en un par de subvariedades de una variedad introducida por Hassler Whitney en 1965.
Una estratificación de un espacio topológico es una filtración finita por subconjuntos cerrados F i , de modo que la diferencia entre los miembros sucesivos F i y F ( i - 1) de la filtración es vacía o una subvariedad suave de dimensión i . Los componentes conectados de la diferencia F i - F ( i - 1) son los estratos de dimensión i . Una estratificación se llama estratificación de Whitney si todos los pares de estratos satisfacen las condiciones A y B de Whitney, como se define a continuación.
John Mather señaló por primera vez que la condición B de Whitney implica la condición A de Whitney en las notas de sus conferencias en Harvard en 1970, que han sido ampliamente distribuidas. También definió la noción de espacio estratificado de Thom-Mather y demostró que cada estratificación de Whitney es un espacio estratificado de Thom-Mather y, por tanto, es un espacio topológicamente estratificado . René Thom dio otra aproximación a este resultado fundamental en 1969.
David Trotman demostró en su tesis de Warwick de 1977 que una estratificación de un subconjunto cerrado en una variedad suave M satisface la condición A de Whitney si y solo si el subespacio del espacio de asignaciones suaves de una variedad suave N en M consiste en todos esos mapas que son transversal a todos los estratos de la estratificación, es abierto (usando la topología Whitney, o fuerte). El subespacio de asignaciones transversales a cualquier familia contable de subvariedades de M siempre es denso según el teorema de transversalidad de Thom . La densidad del conjunto de asignaciones transversales a menudo se interpreta diciendo que la transversalidad es una propiedad 'genérica'para mapeos suaves, mientras que la apertura a menudo se interpreta diciendo que la propiedad es 'estable'.
La razón por la que las condiciones de Whitney se han vuelto tan ampliamente utilizadas es el teorema de 1965 de Whitney de que toda variedad algebraica, o incluso variedad analítica, admite una estratificación de Whitney, es decir, admite una partición en subvariedades suaves que satisfacen las condiciones de Whitney. A los espacios singulares más generales se les pueden dar estratificaciones de Whitney, como conjuntos semialgebraicos (debidos a René Thom ) y conjuntos subanalíticos (debidos a Heisuke Hironaka ). Esto ha llevado a su uso en ingeniería, teoría de control y robótica. En una tesis dirigida por Wieslaw Pawlucki en la Universidad Jagellonian en Cracovia, Polonia, el matemático vietnamita Ta Lê Loi demostró además que todo conjunto definible en uno-estructura mínima se puede dar una estratificación de Whitney. [ cita requerida ]