En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador estrictamente singular es un operador lineal acotado entre espacios normativos que no está acotado por debajo en ningún subespacio de dimensión infinita.
Definiciones
Deje que X y Y pueden normadas lineal espacios , y denotamos por B (X, Y) el espacio de los operadores delimitadas de la forma. Dejarser cualquier subconjunto. Decimos que T está acotado abajo en siempre que haya una constante tal que para todos , la desigualdad sostiene. Si A = X , simplemente decimos que T está acotado por debajo .
Ahora suponga que X e Y son espacios de Banach, y dejemos y denotar los respectivos operadores de identidad. Un operadorse llama no esencial siempre quees un operador de Fredholm para cada. De manera equivalente, T no es esencial si y solo si es Fredholm para cada . Denotamos por el conjunto de todos los operadores no esenciales en .
Un operador se llama estrictamente singular siempre que no se limita a continuación en cualquier subespacio de dimensión infinita de X . Denotamos por el conjunto de todos los operadores estrictamente singulares en . Nosotros decimos esoes finitamente estrictamente singular siempre que para cada existe tal que para cada subespacio E de X que satisfaga, hay tal que . Denotamos por el conjunto de todos los operadores finitamente estrictamente singulares en .
Dejar denotar la bola unidad cerrada en X . Un operadores compacto siempre quees un subconjunto relativamente compacto de Y , y denotado por el conjunto de todos estos operadores compactos.
Propiedades.
Los operadores estrictamente singulares pueden verse como una generalización de los operadores compactos , ya que cada operador compacto es estrictamente singular. Estas dos clases comparten algunas propiedades importantes. Por ejemplo, si X es un espacio de Banach y T es un operador estrictamente singular en B (X), entonces su espectro satisface las siguientes propiedades: (i) la cardinalidad dees como mucho contable; (ii)(excepto posiblemente en el caso trivial donde X es de dimensión finita); (iii) cero es el único punto límite posible de; y (iv) todo distinto de ceroes un valor propio. Este mismo "teorema espectral" que consta de (i) - (iv) se satisface para los operadores no esenciales en B (X) .
Clases , , , y todos forman ideales de operador cerrados por normas . Esto significa que, siempre que X e Y sean espacios de Banach, los espacios componentes, , , y son cada uno de los subespacios cerrados (en la norma del operador) de B (X, Y) , de modo que las clases son invariantes en composición con operadores lineales acotados arbitrarios.
En general, tenemos Y cada una de las inclusiones puede o no ser estricto, dependiendo de las elecciones de X y Y .
Ejemplos.
Cada mapa lineal acotado , por , , es estrictamente singular. Aquí, y son espacios de secuencia . Del mismo modo, todo mapa lineal acotado y , por , es estrictamente singular. Aquíes el espacio de Banach de secuencias que convergen a cero. Este es un corolario del teorema de Pitt, que establece que tales T , para q < p , son compactos.
Si luego el operador de identidad formal es finitamente estrictamente singular pero no compacto. Si entonces existen "operadores Pelczynski" en que se delimitan uniformemente a continuación en copias de , , y por tanto son estrictamente singulares pero no finitamente estrictamente singulares. En este caso tenemos. Sin embargo, todos los operadores no esenciales con codominio es estrictamente singular, de modo que . Por otro lado, si X es cualquier espacio de Banach separable, entonces existe un operador debajo delimitadocualquiera de los cuales no es esencial pero no estrictamente singular. Así, en particular, para todos .
Dualidad.
Los operadores compactos forman un ideal simétrico , lo que significa si y solo si . Sin embargo, este no es el caso de las clases., , o . Para establecer relaciones de dualidad, presentaremos clases adicionales.
Si Z es un subespacio cerrado de un espacio de Banach Y, entonces existe una sobreyección "canónica" definido a través del mapeo natural . Un operadorse llama estrictamente cosingular siempre que dado un subespacio cerrado de dimensión infinita Z de Y , el mapadeja de ser sobreyectiva. Denotamos porel subespacio de operadores estrictamente cosingulares en B (X, Y) .
Teorema 1. Sean X e Y espacios de Banach, y sean. Si T * es estrictamente singular (resp. Estrictamente cosingular) entonces T es estrictamente cosingular (resp. Estrictamente singular).
Tenga en cuenta que hay ejemplos de operadores estrictamente singulares cuyos adjuntos no son estrictamente singulares ni estrictamente cosingulares (ver Plichko, 2004). Del mismo modo, existen operadores estrictamente cosingulares cuyos adjuntos no son estrictamente singulares, por ejemplo, el mapa de inclusión. Entonces no está en plena dualidad con .
Teorema 2. Sean X e Y espacios de Banach, y sean. Si T * no es esencial, entonces T también lo es .
Referencias
Aiena, Pietro, Fredholm y la teoría espectral local, con aplicaciones a multiplicadores (2004), ISBN 1-4020-1830-4 .
Plichko, Anatolij, "Operadores súper estrictamente singulares y súper estrictamente cosingulares", Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional 197 (2004), pp239-255.