En la teoría de categorías , los diagramas de cuerdas son una forma de representar morfismos en categorías monoidales , o más generalmente 2 celdas en 2 categorías .
Definición
La idea es representar estructuras de dimensión d por estructuras de dimensión 2-d , utilizando la dualidad de Poincaré . Por lo tanto,
- un objeto está representado por una porción de plano,
- un 1 celda está representado por un segmento vertical, llamado cuerda, que separa el plano en dos (la parte derecha corresponde a A y la izquierda a B ),
- un 2 celdas está representado por una intersección de cadenas (las cadenas correspondientes af sobre el vínculo, las cadenas correspondientes ag debajo del vínculo).
La composición paralela de 2 celdas corresponde a la yuxtaposición horizontal de diagramas y la composición secuencial a la yuxtaposición vertical de diagramas.
Ejemplo
Considere un complemento entre dos categorías y dónde se deja contiguo a y las transformaciones naturales y son respectivamente la unidad y el contador. Los diagramas de cuerdas correspondientes a estas transformaciones naturales son:
La cadena correspondiente al funtor de identidad se dibuja como una línea de puntos y se puede omitir. La definición de adjunción requiere las siguientes igualdades:
El primero se representa como
Otros lenguajes de diagramación
Los morfismos en categorías monoidales también se pueden dibujar como diagramas de cuerdas [1] ya que una categoría monoidal estricta puede verse como una categoría 2 con un solo objeto (por lo tanto, solo habrá un tipo de región plana) y el teorema de estricción de Mac Lane establece que cualquier categoría monoidal es monoidalmente equivalente a una estricta. El lenguaje gráfico de los diagramas de cuerdas para categorías monoidales puede extenderse para representar expresiones en categorías con otra estructura, como categorías monoidales trenzadas , categorías daga , [2] etc. y está relacionado con presentaciones geométricas para categorías monoidales trenzadas [3] y cinta. categorías . [4] En la computación cuántica , existen varios lenguajes de diagramación basados en diagramas de cuerdas para razonar sobre mapas lineales entre qubits , el más conocido de los cuales es el cálculo ZX .
enlaces externos
- TheCatsters (2007). Diagramas de cadenas 1 (video transmitido) . YouTube.
- Diagramas de cadenas en nLab
Referencias
- ^ Joyal, André; Calle, Ross (1991). "La geometría del cálculo tensorial, I" (PDF) . Avances en Matemáticas . 88 (1): 55-112. doi : 10.1016 / 0001-8708 (91) 90003-P . ISSN 0001-8708 .
- ^ Selinger, P. (2010). "Una encuesta de lenguajes gráficos para categorías monoidales" (PDF) . En Bob Coecke (ed.). Nuevas estructuras para la física . Apuntes de clases de física. 813 . Springer Berlín Heidelberg. págs. 289–355. arXiv : 0908.3347 . Código bibliográfico : 2009arXiv0908.3347S . doi : 10.1007 / 978-3-642-12821-9_4 . ISBN 978-3-642-12820-2.
- ^ Joyal, A .; Calle, R. (1993). "Categorías de tensor trenzado". Avances en Matemáticas . 102 (1): 20–78. doi : 10.1006 / aima.1993.1055 . ISSN 0001-8708 .
- ^ Shum, Mei Chee (11 de abril de 1994). "Categorías de tensor de tortil". Revista de álgebra pura y aplicada . 93 (1): 57-110. doi : 10.1016 / 0022-4049 (92) 00039-T . ISSN 0022-4049 .