Fuerte subaditividad de la entropía cuántica

En la teoría de la información cuántica, la fuerte subaditividad de la entropía cuántica ( SSA ) es la relación entre las entropías de von Neumann de varios subsistemas cuánticos de un sistema cuántico más grande que consta de tres subsistemas (o de un sistema cuántico con tres grados de libertad). Es un teorema básico en la teoría de la información cuántica moderna . Fue conjeturado por DW Robinson y D. Ruelle ^[1] en 1966 y OE Lanford III y DW Robinson ^[2] en 1968 y probado en 1973 por EH Lieb y MB Ruskai , ^[3]basándose en los resultados obtenidos por Lieb en su demostración de la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson. ^[4]

La versión clásica de SSA fue conocida y apreciada durante mucho tiempo en la teoría clásica de la probabilidad y la teoría de la información. La prueba de esta relación en el caso clásico es bastante fácil, pero el caso cuántico es difícil debido a la no conmutatividad de las matrices de densidad reducida que describen los subsistemas cuánticos.

Algunas referencias útiles aquí incluyen:

• "Computación cuántica e información cuántica" ^[5]
• "Entropía cuántica y su uso" ^[6]
• Trazar desigualdades y entropía cuántica: un curso introductorio ^[7]

Definiciones

Usamos la siguiente notación a lo largo de lo siguiente: Un espacio de Hilbert se denota por , y denota los operadores lineales acotados en . Los productos tensoriales se indican mediante superíndices, p . Ej . , . El rastro se denota por .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$${\displaystyle {\rm {Tr}}}$

Matriz de densidad

Una matriz de densidad es una hermitiana , semi-definida positiva matriz de traza uno. Permite la descripción de un sistema cuántico en estado mixto . Las matrices de densidad en un producto tensorial se indican mediante superíndices, por ejemplo, es una matriz de densidad en .${\displaystyle \rho ^{12}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$

Entropía

La entropía cuántica de von Neumann de una matriz de densidad es ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho ):=-{\rm {Tr}}(\rho \log \rho )}$.

Entropía relativa

La entropía relativa cuántica de Umegaki ^[8] de dos matrices de densidad y es${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle S(\rho ||\sigma )={\rm {Tr}}(\rho \log \rho -\rho \log \sigma )\geq 0}$.

Concavidad articular

Se dice que una función de dos variables es conjuntamente cóncava si para alguna se cumple lo siguiente${\displaystyle g}$${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\geq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$

Subaditividad de la entropía

La subaditividad ordinaria ^{[9] se} refiere únicamente a dos espacios y una matriz de densidad . Se afirma que${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$${\displaystyle \rho ^{12}}$

${\displaystyle S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})}$

Esta desigualdad es cierta, por supuesto, en la teoría clásica de la probabilidad, pero esta última también contiene el teorema de que las entropías condicionales y ambas son no negativas. En el caso cuántico, sin embargo, ambos pueden ser negativos, por ejemplo, pueden ser cero mientras . Sin embargo, el límite superior de la subaditividad continúa manteniéndose. Lo más parecido a lo que uno tiene es la desigualdad del triángulo de Araki-Lieb ^[9]${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})}$${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})}$${\displaystyle S(\rho ^{12})}$${\displaystyle S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0}$${\displaystyle S(\rho ^{12})}$${\displaystyle S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0}$

${\displaystyle S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|}$

que se deriva en ^[9] de la subaditividad mediante una técnica matemática conocida como "purificación".

Subaditividad fuerte (SSA)

Supongamos que el espacio de Hilbert del sistema es un producto de tensor de tres espacios: . Físicamente, estos tres espacios pueden interpretarse como el espacio de tres sistemas diferentes, o bien como tres partes o tres grados de libertad de un sistema físico.${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.}$

Dada una matriz de densidad en , definimos una matriz de densidad en como traza parcial : . Del mismo modo, podemos definir matrices de densidad: , , , , .${\displaystyle \rho ^{123}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho ^{12}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$${\displaystyle \rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}}$${\displaystyle \rho ^{23}}$${\displaystyle \rho ^{13}}$${\displaystyle \rho ^{1}}$${\displaystyle \rho ^{2}}$${\displaystyle \rho ^{3}}$

Declaración

Para cualquier estado tripartito se cumple lo siguiente${\displaystyle \rho ^{123}}$

${\displaystyle S(\rho ^{123})+S(\rho ^{2})\leq S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})}$,

donde , por ejemplo.${\displaystyle S(\rho ^{12})=-{\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}}$

De manera equivalente, la declaración se puede reformular en términos de entropías condicionales para mostrar que para el estado tripartito ,${\displaystyle \rho ^{ABC}}$

${\displaystyle S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)}$.

Esto también puede reformularse en términos de información mutua cuántica ,

${\displaystyle I(A:BC)\geq I(A:B)}$.

Estas afirmaciones corren paralelas a la intuición clásica, excepto que las entropías condicionales cuánticas pueden ser negativas y las informaciones mutuas cuánticas pueden exceder el límite clásico de la entropía marginal.

La fuerte desigualdad de subaditividad fue mejorada de la siguiente manera por Carlen y Lieb ^[10]

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}}$,

con la constante óptima .${\displaystyle 2}$

J. Kiefer ^{[11] [12]} demostró un resultado de convexidad relacionado periféricamente en 1959, que es un corolario de una desigualdad de Schwarz del operador demostrado por EHLieb y MBRuskai. ^[3] Sin embargo, estos resultados son comparativamente simples, y las demostraciones no utilizan los resultados del artículo de Lieb de 1973 sobre funcionales de trazas convexas y cóncavas. ^[4] Fue este artículo el que proporcionó la base matemática de la prueba de SSA de Lieb y Ruskai. Narnhofer y Thirring realizaron la extensión de una configuración espacial de Hilbert a una configuración de álgebra de von Neumann, donde los estados no están dados por matrices de densidad. ^[13]

El teorema también se puede obtener demostrando numerosos enunciados equivalentes, algunos de los cuales se resumen a continuación.

Conjetura de Wigner-Yanase-Dyson

EP Wigner y MM Yanase ^[14] propusieron una definición diferente de entropía, que fue generalizada por FJ Dyson.

La información de Wigner – Yanase – Dyson p -skew

La información sesgada de Wigner-Yanase-Dyson${\displaystyle p}$ de una matriz de densidad . con respecto a un operador es${\displaystyle \rho }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle I_{p}(\rho ,K)={\frac {1}{2}}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],}$

donde es un conmutador, es el adjunto de y es fijo.${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$${\displaystyle K^{*}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Concavidad de la información p- sesgada

EP Wigner y MM Yanase conjeturaron en ^[15] que - la información de sesgo es cóncava en función de una matriz de densidad para un fijo .${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Dado que el término es cóncavo (es lineal), la conjetura se reduce al problema de la concavidad de . Como se señaló en, ^[4] esta conjetura (para todos ) implica SSA, y se demostró para en, ^[15] y para todos en ^[4] en la siguiente forma más general: La función de dos variables de matriz ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}}$${\displaystyle Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K}$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

${\displaystyle A,B\mapsto {\rm {Tr}}A^{r}K^{*}B^{p}K}$

( 1 )

es conjuntamente cóncava en y cuando y .${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle p+r\leq 1}$

Este teorema es una parte esencial de la demostración de SSA en. ^[3]

En su artículo ^[15], EP Wigner y MM Yanase también conjeturaron la subaditividad de la información sesgada para , lo cual fue refutado por Hansen ^[16] al dar un contraejemplo.${\displaystyle p}$${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$

Primeras dos declaraciones equivalentes a SSA

Se señaló en ^[9] que la primera declaración a continuación es equivalente a SSA y A. Ulhmann en ^[17] mostró la equivalencia entre la segunda declaración a continuación y SSA.

• ${\displaystyle S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S(\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.}$Tenga en cuenta que las entropías condicionales y no tienen que ser ambas no negativas.${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})}$${\displaystyle S(\rho ^{23}|\rho ^{3})}$
• El mapa es convexo.${\displaystyle \rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})}$

Ambas declaraciones se probaron directamente en. ^[3]

Convexidad conjunta de entropía relativa

Como se ha señalado por Lindblad ^[18] y Uhlmann, ^[19] si, en la ecuación ( 1 ), se toma y y y diferencia en a , se obtiene la convexidad conjunta de entropía relativa : es decir, si , y , a continuación,${\displaystyle K=1}$${\displaystyle r=1-p,A=\rho }$${\displaystyle B=\sigma }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle \rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$${\displaystyle \sigma =\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}}$

${\displaystyle S{\Bigl (}\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}||\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k}\lambda _{k}S(\rho _{k}||\sigma _{k}),}$

( 2 )

donde con .${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}$${\displaystyle \sum _{k}\lambda _{k}=1}$

Monotonicidad de la entropía relativa cuántica

La entropía relativa disminuye monótonamente bajo operaciones de conservación de trazas completamente positivas (CPTP) en matrices de densidad,${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )}$.

Esta desigualdad se llama Monotonicidad de la entropía relativa cuántica. Debido al teorema de factorización de Stinespring , esta desigualdad es una consecuencia de una elección particular del mapa CPTP: un mapa de seguimiento parcial que se describe a continuación.

La clase más importante y básica de mapas CPTP es una operación de rastreo parcial , dada por . Luego${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})}$${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )\leq S(\rho ||\sigma ),}$

( 3 )

que se llama Monotonicidad de la entropía relativa cuántica bajo traza parcial .

Para ver cómo esto se sigue de la convexidad conjunta de la entropía relativa, observe que se puede escribir en la representación de Uhlmann como${\displaystyle T}$

${\displaystyle T(\rho ^{12})=N^{-1}\sum _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j}^{*}),}$

para algunos conjuntos finitos y algunos de matrices unitarias en (alternativamente, integrar sobre la medida de Haar ). Dado que la traza (y por lo tanto la entropía relativa) es unitariamente invariante, la desigualdad ( 3 ) ahora se sigue de ( 2 ). Este teorema se debe a Lindblad ^[18] y Uhlmann, ^[17] cuya demostración es la que se da aquí.${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$

SSA se obtiene de ( 3 ) con reemplazado por y reemplazado . Toma . Entonces ( 3 ) se convierte en ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{3}}$${\displaystyle \rho =\rho ^{123},}$ ${\displaystyle \sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},}$ ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}}$

${\displaystyle S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).}$

Por lo tanto,

${\displaystyle S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,}$

que es SSA. Por tanto, la monotonicidad de la entropía relativa cuántica (que se sigue de ( 1 ) implica SSA.

Relación entre desigualdades

Todas las desigualdades importantes anteriores son equivalentes entre sí y también se pueden probar directamente. Los siguientes son equivalentes:

• Monotonicidad de la entropía relativa cuántica (MONO);
• Monotonicidad de la entropía relativa cuántica bajo traza parcial (MPT);
• Subaditividad fuerte (SSA);
• Convexidad conjunta de la entropía relativa cuántica (JC);

Las siguientes implicaciones muestran la equivalencia entre estas desigualdades.

• MONO MPT: sigue ya que el MPT es un caso particular de MONO;${\displaystyle \Rightarrow }$
• MPT MONO: fue mostrado por Lindblad, ^[20] usando una representación de mapas estocásticos como un trazo parcial sobre un sistema auxiliar;${\displaystyle \Rightarrow }$
• MPT SSA: sigue tomando una elección particular de estados tripartitos en MPT, descritos en la sección anterior, "Monotonicidad de la entropía relativa cuántica";${\displaystyle \Rightarrow }$
• SSA MPT: al elegir ser diagonal de bloque, se puede mostrar que SSA implica que el mapa${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \rho _{123}}$

${\displaystyle \rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})}$es convexo. En ^[3] se observó que esta convexidad produce MPT;

• MPT JC: como se mencionó anteriormente, al elegir (y de manera similar ) ser una matriz diagonal de bloques con bloques (y ), la traza parcial es una suma de bloques para que , de MPT, se pueda obtener JC;${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \rho _{12}}$${\displaystyle \sigma _{12}}$${\displaystyle \lambda _{k}\rho _{k}}$${\displaystyle \lambda _{k}\sigma _{k}}$${\displaystyle \rho :=\rho _{2}=\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$
• JC SSA: utilizando el 'proceso de purificación', Araki y Lieb, ^{[9] [21]} observaron que se podrían obtener nuevas desigualdades útiles a partir de las conocidas. Purificando a que se pueda demostrar que la SSA es equivalente a${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \rho _{123}}$${\displaystyle \rho _{1234}}$

${\displaystyle S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).}$

Además, si es puro, entonces y , entonces la igualdad se mantiene en la desigualdad anterior. Dado que los puntos extremos del conjunto convexo de matrices de densidad son estados puros, SSA se sigue de JC;${\displaystyle \rho _{124}}$${\displaystyle S(\rho _{2})=S(\rho _{14})}$${\displaystyle S(\rho _{4})=S(\rho _{12})}$

Ver, ^{[21] [22]} para una discusión.

El caso de la igualdad

Igualdad en la monotonicidad de la desigualdad de entropía relativa cuántica

En, ^{[23] [24]} D. Petz mostró que el único caso de igualdad en la relación de monotonicidad es tener un canal de "recuperación" adecuado:

Para todos los estados y en un espacio de Hilbert y todos los operadores cuánticos ,${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

si y solo si existe un operador cuántico tal que ${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}T\sigma =\sigma ,}$ y ${\displaystyle {\hat {T}}T\rho =\rho .}$

Además, se puede dar explícitamente mediante la fórmula ${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}\omega =\sigma ^{1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{1/2},}$

donde está el mapa adjunto de .${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T}$

D. Petz también dio otra condición ^[23] cuando la igualdad se cumple en la Monotonicidad de la entropía relativa cuántica: la primera declaración a continuación. Al diferenciarlo tenemos la segunda condición. Además, MB Ruskai dio otra prueba de la segunda declaración.${\displaystyle t=0}$

Para todos los estados y en el ya todos los operadores cuánticos ,${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

si y solo si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:

• ${\displaystyle T^{*}(T(\rho )^{it}T(\sigma )^{it})=\rho ^{it}\sigma ^{-it}}$por todo real .${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \log \rho -\log \sigma =T^{*}{\Bigl (}\log T(\rho )-\log T(\sigma ){\Bigr )}.}$

donde está el mapa adjunto de .${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T}$

Igualdad en fuerte desigualdad de subaditividad

P. Hayden , R. Jozsa, D. Petz y A. Winter describieron los estados para los que se mantiene la igualdad en SSA. ^[25]

Un estado en un espacio de Hilbert satisface una fuerte subaditividad con igualdad si y solo si hay una descomposición del segundo sistema como${\displaystyle \rho ^{ABC}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B}=\bigoplus _{j}{\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}}$

en una suma directa de productos tensoriales, de modo que

${\displaystyle \rho ^{ABC}=\bigoplus _{j}q_{j}\rho ^{AB_{j}^{L}}\otimes \rho ^{B_{j}^{R}C},}$

con los estados en y sobre , y una distribución de probabilidad .${\displaystyle \rho ^{AB_{j}^{L}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}}$${\displaystyle \rho ^{B_{j}^{R}C}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$${\displaystyle \{q_{j}\}}$

Extensión Carlen-Lieb

EH Lieb y EA Carlen han encontrado un término de error explícito en la desigualdad SSA, ^{[10] a} saber,

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}}$

Si y , como siempre ocurre con la entropía clásica de Shannon, esta desigualdad no tiene nada que decir. Para la entropía cuántica, por otro lado, es muy posible que las entropías condicionales satisfagan o (¡pero nunca ambos!). Luego, en este régimen "altamente cuántico", esta desigualdad proporciona información adicional.${\displaystyle S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0}$${\displaystyle S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0}$${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0}$${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0}$

La constante 2 es óptima, en el sentido de que para cualquier constante mayor que 2, se puede encontrar un estado para el cual se viola la desigualdad con esa constante.

Extensión de operador de subaditividad fuerte

En su artículo ^[26] I. Kim estudió una extensión de operador de fuerte subaditividad, demostrando la siguiente desigualdad:

Para un estado tripartito (matriz de densidad) en ,${\displaystyle \rho ^{123}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}}$

${\displaystyle Tr_{12}{\Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{123})){\Bigr )}\geq 0.}$

La prueba de esta desigualdad se basa en el teorema de Effros , ^[27] para el cual se eligen funciones y operadores particulares para derivar la desigualdad anterior. MB Ruskai describe este trabajo en detalle en ^[28] y analiza cómo probar una gran clase de nuevas desigualdades matriciales en los casos tripartito y bipartito tomando una traza parcial sobre todos los espacios menos uno.

Extensiones de subaditividad fuerte en términos de recuperabilidad

En 2014 se demostró un fortalecimiento significativo de la fuerte subaditividad, ^[29] que posteriormente se mejoró en ^[30] y. ^[31] En 2017, ^[32] se demostró que el canal de recuperación puede tomarse como el mapa de recuperación de Petz original. Estas mejoras de subaditividad fuerte tienen interpretaciones físicas en términos de recuperabilidad, lo que significa que si la información mutua condicional de un estado cuántico tripartito es casi igual a cero, entonces es posible realizar un canal de recuperación (del sistema E al AE) tal que . Por tanto, estos resultados generalizan las condiciones exactas de igualdad mencionadas anteriormente.${\displaystyle I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)}$${\displaystyle \rho _{ABE}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{E\to AE}}$${\displaystyle \rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})}$

Ver también

• Entropía de von Neumann
• Entropía cuántica condicional
• Información mutua cuántica
• Divergencia de Kullback-Leibler

Referencias

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2. Lanford, Oscar E .; Robinson, Derek W. (1968). "Entropía media de estados en mecánica estadística cuántica". Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 9 (7): 1120–1125. doi : 10.1063 / 1.1664685 . ISSN 0022-2488 . 
3. Lieb, Elliott H .; Ruskai, Mary Beth (1973). "Prueba de la fuerte subaditividad de la entropía mecánica cuántica" (PDF) . Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 14 (12): 1938-1941. doi : 10.1063 / 1.1666274 . ISSN 0022-2488 .  
4. Lieb, Elliott H (1973). "Funciones de traza convexa y la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson" . Avances en Matemáticas . 11 (3): 267–288. doi : 10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-X . ISSN 0001-8708 . 
5. M. Nielsen, I. Chuang, Computación cuántica e información cuántica, Cambr. U. Press, (2000)
6. M. Ohya, D. Petz, Entropía cuántica y su uso, Springer (1993)
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