En la teoría algebraica de grupos, los teoremas de aproximación son una extensión del teorema chino del resto a los grupos algebraicos G sobre campos globales k .
Eichler (1938) demostró una fuerte aproximación para algunos grupos clásicos. La aproximación fuerte se estableció en las décadas de 1960 y 1970, para grupos algebraicos semisimples simplemente conectados sobre campos globales . Los resultados para campos numéricos se deben a Kneser ( 1966 ) y Platonov ( 1969 ); el caso del campo de función , sobre campos finitos , se debe a Margulis ( 1977 ) y Prasad ( 1977 ). En el caso del campo numérico, Platonov también demostró un resultado relacionado sobre campos locales llamado conjetura de Kneser-Tits.
Sea G un grupo algebraico lineal sobre un campo global k , y A el anillo adele de k . Si S es un conjunto finito no vacío de lugares de k , entonces escribimos A S para el anillo de S -adeles y A S para el producto de las completaciones k s , para s en el conjunto finito S . Para cualquier elección de S , G ( k ) se incrusta en G ( A S ) y G ( A S).
La pregunta que se hace en la aproximación débil es si la incrustación de G ( k ) en G ( A S ) tiene una imagen densa. Si el grupo G es conexo y k -racional, entonces satisface una aproximación débil con respecto a cualquier conjunto S ( Platónov, Rapinchuk 1994 , p.402) . Más generalmente, para cualquier grupo conexo G , existe un conjunto finito T de lugares finitos de k tal que G satisface la aproximación débil con respecto a cualquier conjunto S que es disjunto con T (Platonov, Rapinchuk 1994 , p.415) . En particular, si k es un cuerpo numérico algebraico, cualquier grupo G satisface una aproximación débil con respecto al conjunto S = S ∞ de lugares infinitos.
La pregunta formulada en aproximación fuerte es si la incrustación de G ( k ) en G ( A S ) tiene una imagen densa, o de manera equivalente si el conjunto
es un subconjunto denso en G ( A ). El teorema principal de la aproximación fuerte ( Kneser 1966 , p.188) establece que un grupo algebraico lineal no resoluble G sobre un campo global k tiene una aproximación fuerte para el conjunto finito S si y solo si su radical N es unipotente , G / N es simplemente conexo, y cada componente casi simple H de G / N tiene un componente no compacto H s para algunos s en S (dependiendo deH ).