Teorema de la rigidez de Mostow

En matemáticas , el teorema de rigidez de Mostow , o el teorema de rigidez fuerte , o el teorema de rigidez de Mostow-Prasad , establece esencialmente que la geometría de una variedad hiperbólica completa de volumen finito de dimensión mayor que dos está determinada por el grupo fundamental y, por lo tanto, única. El teorema fue probado para variedades cerradas por Mostow ( 1968 ) y extendido a variedades de volumen finito por Marden (1974) en 3 dimensiones, y por Prasad ( 1973 ) en todas las dimensiones al menos 3. Gromov (1981)dio una prueba alternativa usando la norma de Gromov . Besson, Courtois & Gallot (1996) dieron la prueba más simple disponible.

Mientras que el teorema muestra que el espacio de deformación de estructuras hiperbólicas (completas) en una variedad hiperbólica de volumen finito (para ) es un punto, para una superficie hiperbólica de género hay un espacio de módulos de dimensión que parametriza todas las métricas de curvatura constante (hasta al difeomorfismo ), un hecho esencial para la teoría de Teichmüller . También existe una rica teoría de espacios de deformación de estructuras hiperbólicas en variedades de volumen infinito en tres dimensiones. ${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización n> 2}$ ${\ estilo de visualización g> 1}$ ${\ estilo de visualización 6g-6}$

El teorema se puede dar en una formulación geométrica (perteneciente a variedades completas de volumen finito) y en una formulación algebraica (perteneciente a redes en grupos de Lie).

Sea el espacio hiperbólico bidimensional . Una variedad hiperbólica completa se puede definir como el cociente de un conjunto de isometrías que actúan libremente y propiamente de forma discontinua (es equivalente a definirla como una variedad de Riemann con curvatura de sección -1 que es completa ). Es de volumen finito si la integral de una forma volumétrica es finita (que es el caso, por ejemplo, si es compacta). El teorema de la rigidez de Mostow puede enunciarse como: ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$

Aquí está el grupo fundamental de una variedad . Si es una variedad hiperbólica obtenida como el cociente de por un grupo entonces . ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (X)}$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (X) \ cong \ Gamma}$

Una declaración equivalente es que cualquier equivalencia de homotopía de a puede homotoparse a una isometría única. La prueba en realidad muestra que si tiene una dimensión mayor que entonces no puede haber una equivalencia de homotopía entre ellos. ${\ estilo de visualización M}$ ${\ estilo de visualización N}$ ${\ estilo de visualización N}$ ${\ estilo de visualización M}$