Proceso estacionario

En matemáticas y estadística , un proceso estacionario (o un proceso estrictamente/estrictamente estacionario o un proceso fuertemente/fuertemente estacionario ) es un proceso estocástico cuya distribución de probabilidad conjunta incondicional no cambia cuando se desplaza en el tiempo. ^[1] En consecuencia, parámetros como la media y la varianza tampoco cambian con el tiempo. Para tener una intuición de la estacionariedad, uno puede imaginar un péndulo sin fricción . Se balancea hacia adelante y hacia atrás en un movimiento oscilatorio, sin embargo, la amplitud y la frecuencia permanecer constante. Aunque el péndulo se mueve, el proceso es estacionario ya que sus " estadísticas " son constantes (frecuencia y amplitud). Sin embargo, si se aplicara una fuerza al péndulo (por ejemplo, la fricción con el aire), cambiaría la frecuencia o la amplitud, lo que haría que el proceso no fuera estacionario. ^[2]

Dado que la estacionariedad es una suposición subyacente a muchos procedimientos estadísticos utilizados en el análisis de series de tiempo , los datos no estacionarios a menudo se transforman para volverse estacionarios. La causa más común de violación de la estacionariedad es una tendencia en la media, que puede deberse a la presencia de una raíz unitaria o de una tendencia determinista. En el primer caso de una raíz unitaria, los choques estocásticos tienen efectos permanentes y el proceso no es de reversión a la media . En el último caso de una tendencia determinista, el proceso se denomina proceso estacionario de tendencia , y los choques estocásticos tienen solo efectos transitorios después de los cuales la variable tiende hacia una media de evolución determinista (no constante).

Un proceso estacionario de tendencia no es estrictamente estacionario, pero puede transformarse fácilmente en un proceso estacionario eliminando la tendencia subyacente, que es únicamente una función del tiempo. De manera similar, los procesos con una o más raíces unitarias se pueden hacer estacionarios mediante la diferenciación. Un tipo importante de proceso no estacionario que no incluye un comportamiento de tendencia es un proceso cicloestacionario , que es un proceso estocástico que varía cíclicamente con el tiempo.

Para muchas aplicaciones, la estacionariedad en sentido estricto es demasiado restrictiva. Luego se emplean otras formas de estacionariedad, como la estacionariedad de sentido amplio o la estacionariedad de orden N. Las definiciones de los diferentes tipos de estacionariedad no son consistentes entre los diferentes autores (ver Otra terminología ).

Formalmente, sea un proceso estocástico y represente la función de distribución acumulativa de la distribución conjunta incondicional (es decir, sin referencia a ningún valor inicial en particular) de at times . Entonces, se dice que es estrictamente estacionario , fuertemente estacionario o estacionario en sentido estricto si ^[3]^{: p. 155} ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {X_ {t} \ derecha \}}$ $F_{X}(x_{t_{1}+\tau},\ldots,x_{t_{n}+\tau})$ ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {X_ {t} \ derecha \}}$ $t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau$ ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {X_ {t} \ derecha \}}$

Arriba se muestran dos procesos de series de tiempo simulados, uno estacionario y otro no estacionario. La estadística de prueba Dickey-Fuller aumentada (ADF) se informa para cada proceso; no se puede rechazar la no estacionariedad para el segundo proceso a un nivel de significancia del 5% .