En la rama de las matemáticas conocida como álgebra universal (y en sus aplicaciones), un álgebra subdirectamente irreducible es un álgebra que no se puede factorizar como un producto subdirecto de álgebras "más simples". Las álgebras subdirectamente irreductibles juegan un papel algo análogo en el álgebra a los números primos en la teoría de números .
Definición
Se dice que un álgebra universal A es subdirectamente irreductible cuando A tiene más de un elemento, y cuando cualquier representación subdirecta de A incluye (como factor) un álgebra isomorfa a A , con el isomorfismo dado por el mapa de proyección.
Ejemplos de
- La cadena de dos elementos, ya sea como álgebra booleana , álgebra de Heyting , retícula [1] : 56 , o semirrejilla , es subdirectamente irreductible. De hecho, la cadena de dos elementos es la única red distributiva subdirectamente irreductible . [1] : 56
- Cualquier cadena finita con dos o más elementos, como álgebra de Heyting , es subdirectamente irreductible. (Este no es el caso de las cadenas de tres o más elementos como retículas o semirredes, que son subdirectamente reducibles a la cadena de dos elementos. La diferencia con las álgebras de Heyting es que a → b no necesita ser comparable con a bajo el orden de retícula incluso cuando b es.)
- Cualquier finito grupo cíclico de orden una potencia de un primo (es decir, cualquier finito p -Grupo ) es subdirectly irreducible. [1] : 56 (Una debilidad de la analogía entre los irreducibles subdireccionales y los números primos es que los números enteros son subdirectamente representables por cualquier familia infinita de grupos cíclicos de potencias primos no isomórficos, por ejemplo, solo aquellos de orden primo de Mersenne asumiendo que hay infinitos. ) De hecho, un grupo abeliano es subdirectamente irreductible si y solo si es isomorfo a un grupo p finito o isomorfo a un grupo Prüfer (un grupo p infinito pero contable , que es el límite directo de sus subgrupos p finitos) . [1] : 61
- Un espacio vectorial es subdirectamente irreductible si y solo si tiene dimensión uno.
Propiedades
El teorema de representación subdirecta del álgebra universal establece que cada álgebra es subdirectamente representable por sus cocientes subdirectamente irreductibles . Una definición equivalente de "subdirectos irreductible" es, por tanto, cualquier álgebra de A que no es representable subdirectly por los de sus cocientes no isomorfo a A . (Esto no es exactamente lo mismo que "por sus cocientes adecuados" porque un cociente adecuado de A puede ser isomorfo a A , por ejemplo, el cociente de la semirrejilla ( Z , min) obtenido al identificar solo los dos elementos 3 y 4. )
Un corolario inmediato es que cualquier variedad , como una clase cerrada bajo homomorfismos, subálgebras y productos directos, está determinada por sus miembros subdirectamente irreductibles, ya que cada álgebra A en la variedad puede construirse como una subálgebra de un producto directo adecuado de la subdirección. cocientes irreductibles de A , todos los cuales pertenecen a la variedad porque A lo hace. Por esta razón, a menudo se estudia no la variedad en sí, sino sólo sus subdireccionales irreducibles.
Un álgebra A es subdirectamente irreductible si y solo si contiene dos elementos que se identifican por cada cociente propio, de manera equivalente, si y solo si su retículo Con A de congruencias tiene un elemento de no identidad mínimo. Es decir, cualquier subdirecto irreductible debe contener un par específico de elementos que atestigüen su irreductibilidad de esta manera. Dado tal testigo ( a , b ) para subdireccionar irreductibilidad decimos que el subdirecto irreductible es ( a , b ) -irreducible.
Dada cualquier clase C de álgebras similares, el lema de Jónsson (debido a Bjarni Jónsson ) establece que si la variedad HSP ( C ) generada por C es congruencia-distributiva , sus subdirectos irreducibles están en HSP U ( C ), es decir, son cocientes de subálgebras de ultraproductos de los miembros de C . (Si C es un conjunto finito de álgebras finitas, la operación del ultraproducto es redundante).
Aplicaciones
Una condición necesaria y suficiente para un álgebra de Heyting sea subdirectly irreducible es para que haya un mayor elemento estrictamente por debajo de 1. El par testificar es ese elemento y 1, y la identificación de cualquier otro par un , b de los elementos identifica tanto un → b y b → a con 1 colapsando así todo por encima de esas dos implicaciones a 1. Por tanto, cada cadena finita de dos o más elementos como un álgebra de Heyting es subdirectamente irreductible.
Según el Lema de Jónsson , las álgebras subdirectamente irreductibles de una variedad congruencia-distributiva generadas por un conjunto finito de álgebras finitas no son más grandes que las álgebras generadoras, ya que los cocientes y subálgebras de un álgebra A nunca son más grandes que la propia A. Por ejemplo, los irreducibles subdirectos en la variedad generada por un álgebra de Heyting finita linealmente ordenada H deben ser solo los cocientes no degenerados de H , es decir, todas las álgebras de Heyting no degeneradas linealmente ordenadas más pequeñas. Las condiciones no pueden descartarse en general: por ejemplo, la variedad de todas las álgebras de Heyting es generada por el conjunto de sus álgebras finitas subdirectamente irreductibles, pero existen álgebras de Heyting subdirectamente irreductibles de cardinalidad arbitraria (infinita). También existe un único álgebra finita que genera una variedad (no congruente-distributiva) con irreducibles subdirectos arbitrariamente grandes. [2]
Referencias
- Pierre Antoine Grillet (2007). Álgebra abstracta . Saltador. ISBN 978-0-387-71567-4.