En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un subfunctor es un tipo especial de funtor que es un análogo de un subconjunto .
Definición
Sea C una categoría y sea F un funtor contravariante de C a la categoría de conjuntos Set . Un funtor contravariante G de C a Set es un subfunctor de F si
- Para todos los objetos c de C , G ( c ) ⊆ F ( c ) y
- Para todas las flechas f : c ′ → c de C , G ( f ) es la restricción de F ( f ) a G ( c ).
Esta relación se escribe a menudo como G ⊆ F .
Por ejemplo, sea 1 la categoría con un solo objeto y una sola flecha. Un funtor F : 1 → Set asigna el objeto único de 1 a algún conjunto S y la flecha identidad única de 1 a la identidad de función 1 S en S . A subfunctor G de F mapea el objeto único de 1 a un subconjunto T de S y mapea la flecha identidad única a la función identidad 1 T en T . Tenga en cuenta que 1 T es la restricción de 1 S a T . En consecuencia, subfunctors de F corresponden a subconjuntos de S .
Observaciones
Los subfunctores en general son como versiones globales de subconjuntos. Por ejemplo, si uno imagina que los objetos de alguna categoría C son análogos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico, entonces un funtor contravariante de C a la categoría de conjuntos da una gavilla previa con valores de conjunto en C , es decir, asocia conjuntos a los objetos de C en una forma que es compatible con las flechas de C . Luego, un subfunctor asocia un subconjunto a cada conjunto, nuevamente de una manera compatible.
Los ejemplos más importantes de subfunctores son subfunctores del functor Hom . Sea c un objeto de la categoría C y considere el funtor Hom (-, c ) . Este funtor toma un objeto c ′ de C y devuelve todos los morfismos c ′ → c . Un subfunctor de Hom (-, c ) devuelve solo algunos de los morfismos. Este subfunctor se llama tamiz y generalmente se usa al definir topologías de Grothendieck .
Subfunctores abiertos
Los subfunctores también se utilizan en la construcción de functores representables en la categoría de espacios anillados . Deje que F sea un funtor contravariante de la categoría de espacios anillados a la categoría de conjuntos, y dejó G ⊆ F . Supongamos que este morfismo de inclusión G → F es representable por inmersiones abiertas, es decir, para cualquier functor representable Hom (-, X ) y cualquier morfismo Hom (-, X ) → F , el producto fibrado G × F Hom (-, X ) es un functor representable Hom (-, Y ) y el morfismo Y → X definido por el lema de Yoneda es una inmersión abierta. Entonces G se llama un subfunctor abierto de F . Si F está cubierto por subfunctores abiertos representables, entonces, bajo ciertas condiciones, se puede demostrar que F es representable. Esta es una técnica útil para la construcción de espacios anillados. Fue descubierto y explotado en gran medida por Alexander Grothendieck , quien lo aplicó especialmente al caso de los esquemas . Para una declaración formal y una prueba, ver Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique , vol. 1, 2a ed., Capítulo 0, sección 4.5.