Tamiz (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un tamiz es una forma de elegir flechas con un codominio común . Es un análogo categórico de una colección de subconjuntos abiertos de un conjunto abierto fijo en topología . En una topología de Grothendieck , ciertos tamices se convierten en análogos categóricos de las cubiertas abiertas en la topología . Giraud (1964) introdujo los tamices para reformular la noción de topología de Grothendieck.

Definición

Deje que C sea una categoría , y dejar c ser un objeto de C . Un tamiz en c es un subfunctor de Hom (-, c ), es decir, para todos los objetos c ′ de C , S ( c ′) ⊆ Hom ( c ′, c ), y para todas las flechas f : c ″ → c ′ , S ( f ) es la restricción de Hom ( f , c ), el retroceso por f${\displaystyle S\colon C^{\rm {op}}\to {\rm {Set}}}$(en el sentido de precomposición, no de productos de fibra), en S ( c '); consulte la siguiente sección, a continuación.

Dicho de otra manera, un tamiz es una colección S de flechas con un codominio común que satisface la condición, "Si g : c ′ → c es una flecha en S , y si f : c ″ → c ′ es cualquier otra flecha en C , entonces gf está en S ". En consecuencia, los tamices son similares a los ideales correctos en la teoría de anillos o filtros en la teoría del orden .

Retirada de tamices

La operación más común en un tamiz es el retroceso . Al tirar de un tamiz S en c con una flecha f : c ′ → c se obtiene un nuevo tamiz f ^* S en c ′. Este nuevo tamiz consta de todas las flechas en S que factorizan a través de c ′.

Hay varias formas equivalentes de la definición de f ^* S . El mas simple es:

Para cualquier objeto d de C , f ^* S ( d ) = { g : d → c ′ | fg ∈ S ( d )}

Una formulación más abstracta es:

f ^* S es la imagen del producto fibroso S × _{Hom (-, c )} Hom (-, c ′) bajo la proyección natural S × _{Hom (-, c )} Hom (-, c ′) → Hom (-, c ′).

Aquí el mapa Hom (-, c ′) → Hom (-, c ) es Hom ( f , c ′), el retroceso por f .

La última formulación sugiere que también podemos tomar la imagen de S × _{Hom (-, c )} Hom (-, c ′) bajo el mapa natural de Hom (-, c ). Esta será la imagen de f ^* S bajo composición con f . Para cada objeto d de C , este tamiz constará de todas las flechas fg , donde g : d → c ′ es una flecha de f ^* S ( d ). En otras palabras, consta de todas las flechas en S que se pueden factorizar mediante f.

Si denotamos por ∅ _c el tamiz vacío en c , es decir, el tamiz para el cual ∅ ( d ) es siempre el conjunto vacío, entonces para cualquier f : c ′ → c , f ^* ∅ _c es ∅ _{c ′} . Además, f ^* Hom (-, c ) = Hom (-, c ′).

Propiedades de los tamices

Sean S y S ′ dos tamices en c . Decimos que S ⊆ S ′ si para todos los objetos c ′ de C , S ( c ′) ⊆ S ′ ( c ′). Para todos los objetos d de C , definimos ( S ∪ S ′) ( d ) como S ( d ) ∪ S ′ ( d ) y ( S ∩ S ′) ( d ) como S ( d ) ∩S ′ ( d ). También podemos extender claramente esta definición a uniones e intersecciones infinitas.

Si definimos Tamiz _C ( c ) (o Tamiz ( c ) para abreviar) como el conjunto de todos los tamices en c , entonces Tamiz ( c ) se ordena parcialmente bajo ⊆. Es fácil ver a partir de la definición que la unión o intersección de cualquier familia de tamices en c es un tamiz en c , por lo que el tamiz ( c ) es un enrejado completo .

Una topología de Grothendieck es una colección de tamices sujetos a ciertas propiedades. Estos tamices se denominan tamices de cobertura . El conjunto de todos los tamices de cobertura de un objeto c es un subconjunto J ( c ) de Sieve ( c ). J ( c ) satisface varias propiedades además de las requeridas por la definición:

• Si S y S ′ son tamices en c , S ⊆ S ′ y S ∈ J ( c ), entonces S ′ ∈ J ( c ).
• Las intersecciones finitas de elementos de J ( c ) están en J ( c ).

En consecuencia, J ( c ) también es una red distributiva , y es cofinal en Sieve ( c ).

Referencias

• Artin, Michael ; Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier , eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 . Apuntes de clases de matemáticas (en francés). 269 . Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . xix + 525. doi : 10.1007 / BFb0081551 . ISBN 978-3-540-05896-0.
• Giraud, Jean (1964), "Analysis situs", Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3 , París: Secrétariat mathématique, MR  0193122
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .