Secuencia libre de sumas
de modo que ningún término pueda representarse como una suma de ningún subconjunto de los elementos precedentes de la misma secuencia.
Esto difiere de un conjunto libre de sumas, donde solo deben evitarse los pares de sumas, pero donde esas sumas pueden provenir del conjunto completo en lugar de solo los términos precedentes.
Forman una secuencia libre de suma: cada término de la secuencia es uno más que la suma de todos los términos precedentes, por lo que no puede representarse como una suma de términos precedentes.
Se dice que un conjunto de números enteros es pequeño si la suma de sus recíprocos converge a un valor finito. Por ejemplo, según el teorema de los números primos , los números primos no son pequeños. Paul Erdős ( 1962 ) demostró que toda secuencia libre de suma es pequeña y preguntó qué tan grande podría ser la suma de recíprocos. Por ejemplo, la suma de los recíprocos de las potencias de dos (una serie geométrica ) es dos.
Si denota la suma máxima de recíprocos de una secuencia libre de suma, entonces a través de investigaciones posteriores se sabe que . [1]
Del hecho de que las secuencias libres de suma son pequeñas se deduce que tienen una densidad de Schnirelmann cero ; es decir, si se define como el número de elementos de secuencia que son menores o iguales que , entonces . Erdős (1962) demostró que para cada secuencia libre de suma existe una sucesión sin límites de números para los que donde es la proporción áurea , y exhibió una secuencia libre de suma por la cual, para todos los valores de , , mejoró posteriormente a por Deshouillers, Erdős y Melfi en 1999 y por Luczak y Schoen en 2000, quienes también demostraron que el exponente 1/2 no se puede mejorar más.
