mentira superálgebra

En matemáticas , una superálgebra de Lie es una generalización de un álgebra de Lie para incluir una calificación Z 2 . Las superálgebras de mentira son importantes en la física teórica donde se utilizan para describir las matemáticas de la supersimetría . En la mayoría de estas teorías, los elementos pares de la superálgebra corresponden a bosones y los elementos impares a fermiones (pero esto no siempre es cierto; por ejemplo, la supersimetría BRST es al revés).

Formalmente, una superálgebra de Lie es un álgebra graduada Z 2 no asociativa , o superálgebra , sobre un anillo conmutativo (típicamente R o C ) cuyo producto [·, ·], llamado supersoporte de Lie o superconmutador , satisface las dos condiciones (análogos del axiomas usuales del álgebra de Lie , con calificación):

donde x , y y z son puros en la clasificación Z 2 . Aquí, | x | denota el grado de x (ya sea 0 o 1). El grado de [x,y] es la suma de los grados de x e y módulo 2.

A veces también se agregan los axiomas para | x | = 0 (si 2 es invertible esto sigue automáticamente) y para | x | = 1 (si 3 es invertible esto sigue automáticamente). Cuando el anillo fundamental son los números enteros o la superálgebra de Lie es un módulo libre, estas condiciones son equivalentes a la condición que cumple el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (y, en general, son condiciones necesarias para que se cumpla el teorema).

Al igual que para las álgebras de Lie, al álgebra envolvente universal de la superálgebra de Lie se le puede dar una estructura de álgebra de Hopf .

Un álgebra de Lie graduada (digamos, graduada por Z o N ) que es anticonmutativa y Jacobi en el sentido graduado también tiene una calificación (que se denomina "resumir" el álgebra en partes pares e impares), pero no se denomina " súper". Ver nota en álgebra de Lie graduada para discusión.