En matemáticas , más específicamente en la teoría de álgebras de Lie , el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (o teorema PBW ) es un resultado que da una descripción explícita del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie. Lleva el nombre de Henri Poincaré , Garrett Birkhoff y Ernst Witt .
Los términos teorema de tipo PBW y teorema de PBW también pueden referirse a varios análogos del teorema original, comparando un álgebra filtrada con su álgebra graduada asociada, en particular en el área de grupos cuánticos .
Declaración del teorema
Recuerde que cualquier espacio vectorial V sobre un campo tiene una base ; este es un conjunto S de tal manera que cualquier elemento de V es un único (finito) combinación lineal de los elementos de S . En la formulación del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt consideramos bases cuyos elementos están totalmente ordenados por alguna relación que denotamos ≤.
Si L es un álgebra de Lie sobre un campo K , h denote el K canónico - mapa lineal de L al álgebra envolvente universal U ( L ).
Teorema . [1] Let L sea un álgebra de Lie sobre K y X una base totalmente ordenada de L . Un monomio canónico sobre X es una secuencia finita ( x 1 , x 2 ..., x n ) de elementos de X que no es decreciente en el orden ≤, es decir, x 1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x n . Extienda h a todos los monomios canónicos de la siguiente manera: si ( x 1 , x 2 , ..., x n ) es un monomio canónico, sea
Entonces h es inyectiva en el conjunto de monomios canónicos y la imagen de este conjuntoforma una base para U ( L ) como un espacio de vector K.
Dicho de otra manera, considere Y = h ( X ). Y está totalmente ordenado por el ordenamiento inducida de X . El conjunto de monomios
donde y 1 < y 2 <... < y n son elementos de Y , y los exponentes no son negativos , junto con la unidad multiplicativa 1, forman una base para U ( L ). Tenga en cuenta que el elemento unitario 1 corresponde al monomio canónico vacío. El teorema luego afirma que estos monomios forman una base para U ( L ) como un espacio vectorial. Es fácil ver que estos monomios abarcan U ( L ); el contenido del teorema es que son linealmente independientes.
La estructura multiplicativa de U ( L ) está determinada por las constantes de estructura en la base X , es decir, los coeficientes tal que
Esta relación permite reducir cualquier producto de y ' s a una combinación lineal de monomios canónicos: Las constantes de estructura determinan y i y j - y j y i , es decir, qué hacer para cambiar el orden de dos elementos de Y en un producto. Este hecho, módulo un argumento inductivo sobre el grado de monomios (no canónicos), muestra que siempre se pueden lograr productos donde los factores están ordenados de manera no decreciente.
El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt puede interpretarse en el sentido de que el resultado final de esta reducción es único y no depende del orden en el que se intercambian los elementos adyacentes.
Corolario . Si L es un álgebra de Lie sobre un campo, el mapa canónico L → U ( L ) es inyectivo. En particular, cualquier álgebra de Lie sobre un campo es isomórfica a una subálgebra de Lie de un álgebra asociativa.
Contextos más generales
Ya en sus primeras etapas, se sabía que K podría ser reemplazado por cualquier anillo conmutativo, siempre que L sea un módulo K libre , es decir, tenga una base como la anterior.
Para extender al caso en el que L ya no es un módulo K libre , es necesario hacer una reformulación que no use bases. Este consiste en reemplazar el espacio de monomios en alguna base con el álgebra simétrica , S ( L ), en L .
En el caso de que K contenga el campo de números racionales, se puede considerar el mapa natural de S ( L ) a U ( L ), enviando un monomio. por, al elemento
Entonces, uno tiene el teorema de que este mapa es un isomorfismo de K -módulos.
Aún más general y naturalmente, se puede considerar U ( L ) como un álgebra filtrada , equipada con la filtración dada al especificar que yace en grado filtrado . El mapa L → U ( L ) de K -módulos se extiende canónicamente a un mapa T ( L ) → U ( L ) de álgebras, donde T ( L ) es el álgebra tensorial en L (por ejemplo, por la propiedad universal del tensor álgebras), y este es un mapa filtrado que equipa a T ( L ) con la filtración que pone a L en el grado uno (en realidad, T ( L ) está graduado). Luego, pasando al grado asociado, se obtiene un morfismo canónico T ( L ) → gr U ( L ), que mata los elementos vw - wv para v, w ∈ L , y por lo tanto desciende a un morfismo canónico S ( L ) → gr U ( L ). Entonces, el teorema de PBW (graduado) puede reformularse como la afirmación de que, bajo ciertas hipótesis, este morfismo final es un isomorfismo de álgebras conmutativas .
Esto no es cierto para todos los K y L (ver, por ejemplo, la última sección del artículo de Cohn de 1961), pero es cierto en muchos casos. Estos incluyen los mencionados anteriormente, donde L es un módulo K libre (por lo tanto, siempre que K es un campo), o K contiene el campo de números racionales. De manera más general, el teorema de PBW como se formuló anteriormente se extiende a casos como donde (1) L es un módulo K plano , (2) L es libre de torsión como un grupo abeliano , (3) L es una suma directa de módulos cíclicos (o todas sus localizaciones en ideales primos de K tienen esta propiedad), o (4) K es un dominio de Dedekind . Ver, por ejemplo, el artículo de 1969 de Higgins para estas declaraciones.
Finalmente, vale la pena señalar que, en algunos de estos casos, también se obtiene la afirmación más fuerte de que el morfismo canónico S ( L ) → gr U ( L ) se eleva a un isomorfismo de módulo K S ( L ) → U ( L ) , sin tomar calificados asociados. Esto es cierto en los primeros casos mencionados, donde L es un módulo K libre , o K contiene el campo de números racionales, utilizando la construcción descrita aquí (de hecho, el resultado es un isomorfismo de coalgebra , y no simplemente un módulo K isomorfismo, equipando tanto a S ( L ) como a U ( L ) con sus estructuras de coalgebra natural de modo quepara v ∈ L ). Sin embargo, esta afirmación más contundente podría no extenderse a todos los casos del párrafo anterior.
Historia del teorema
En cuatro artículos de la década de 1880 de Alfredo Capelli se demostró, con diferente terminología, lo que ahora se conoce como el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt en el caso deel álgebra de Lie lineal general ; mientras que Poincaré lo declaró más tarde de manera más general en 1900. [2] Armand Borel dice que estos resultados de Capelli fueron "completamente olvidados durante casi un siglo" , y no sugiere que Poincaré estuviera al tanto del resultado de Capelli. [2]
Ton-That y Tran [3] han investigado la historia del teorema. Han descubierto que la mayoría de las fuentes anteriores al libro de 1960 de Bourbaki lo llaman teorema de Birkhoff-Witt. Siguiendo esta vieja tradición, Fofanova [4] en su entrada enciclopédica dice que Poincaré obtuvo la primera variante del teorema. Ella dice además que el teorema fue posteriormente completamente demostrado por Witt y Birkhoff. Parece que las fuentes anteriores a Bourbaki no estaban familiarizadas con el artículo de Poincaré.
Birkhoff [5] y Witt [6] no mencionan el trabajo de Poincaré en sus artículos de 1937. Cartan y Eilenberg [7] llaman al teorema Teorema de Poincaré-Witt y atribuyen la demostración completa a Witt. Bourbaki [8] fue el primero en utilizar los tres nombres en su libro de 1960. Knapp presenta una clara ilustración de la tradición cambiante. En su libro de 1986 [9] lo llama Teorema de Birkhoff-Witt , mientras que en su libro posterior de 1996 [10] cambia al Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .
No está claro si el resultado de Poincaré fue completo. Ton-That y Tran [3] concluyen que "Poincaré había descubierto y demostrado completamente este teorema al menos treinta y siete años antes que Witt y Birkhoff" . Por otro lado, señalan que "Poincaré hace varias declaraciones sin molestarse en probarlas" . Sus propias pruebas de todos los pasos son bastante largas según su admisión. Borel afirma que Poincaré " más o menos demostró el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt " en 1900. [2]
Notas
Referencias
- Birkhoff, Garrett (abril de 1937). "Representabilidad de álgebras de Lie y grupos de Lie por matrices". Annals of Mathematics . 38 (2): 526–532. doi : 10.2307 / 1968569 . JSTOR 1968569 .
- Borel, Armand (2001). Ensayos de Historia de grupos de Lie y grupos algebraicos . Historia de las Matemáticas. 21 . Sociedad matemática estadounidense y sociedad matemática de Londres. ISBN 978-0821802885.
- Bourbaki, Nicolas (1960). "Capilla 1: Algèbres de Lie". Groupes et algèbres de Lie . Éléments de mathématique. París: Hermann.
- Capelli, Alfredo (1890). "Sur les Opérations dans la théorie des formes algébriques". Mathematische Annalen . 37 : 1-37. doi : 10.1007 / BF01206702 .
- Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Álgebra homológica . Serie matemática de Princeton (PMS). 19 . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-04991-5.
- Cartier, Pierre (1958). "Remarques sur le théorème de Birkhoff – Witt" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . Serie 3. 12 (1–2): 1–4.
- Cohn, PM (1963). "Un comentario sobre el teorema de Birkhoff-Witt". J. London Math. Soc . 38 : 197-203. doi : 10.1112 / jlms / s1-38.1.197 .
- Fofanova, TS (2001) [1994], "Teorema de Birkhoff-Witt" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Hall, Brian C. (2015). Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental . Textos de Posgrado en Matemáticas. 222 (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3319134666.
- Higgins, PJ (1969). "Invariantes de Baer y el teorema de Birkhoff-Witt" . Revista de álgebra . 11 (4): 469–482. doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90086-6 .
- Hochschild, G. (1965). La teoría de los grupos de mentiras . Holden-Day.
- Knapp, AW (2001) [1986]. Teoría de la representación de grupos semisimple. Una descripción general basada en ejemplos . Serie matemática de Princeton. 36 . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-09089-0. JSTOR j.ctt1bpm9sn .
- Knapp, AW (2013) [1996]. Grupos de mentiras más allá de una introducción . Saltador. ISBN 978-1-4757-2453-0.
- Poincaré, Henri (1900). "Sur les groupes continus". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 18 . Prensa Universitaria. págs. 220–5. OCLC 1026731418 .
- Ton-That, T .; Tran, T.-D. (1999). "Prueba de Poincaré del llamado teorema de Birkhoff-Witt" (PDF) . Rev. Histoire Math . 5 : 249-284. arXiv : matemáticas / 9908139 . Bibcode : 1999math ...... 8139T . CiteSeerX 10.1.1.489.7065 . Zbl 0958.01012 .
- Witt, Ernst (1937). "Treue Darstellung Liescher Ringe" . J. Reine Angew. Matemáticas . 1937 (177): 152–160. doi : 10.1515 / crll.1937.177.152 . S2CID 118046494 .