En matemáticas , una sucesión { a n }, n ≥ 1, se llama superaditiva si satisface la desigualdad
para todos los m y n . La razón principal para el uso de secuencias superaditivas es el siguiente lema debido a Michael Fekete . [1]
- Lema: (Fekete) Para cada secuencia superaditiva { a n }, n ≥ 1, el límite lim a n / n existe y es igual a sup a n / n . (El límite puede ser infinito positivo, por ejemplo, para la secuencia a n = log n !.)
De manera similar, una función f es superaditiva si
para todos los x y y en el dominio de f .
Por ejemplo, es una función superaditiva para números reales no negativos porque el cuadrado de es siempre mayor o igual que el cuadrado de más el cuadrado de , para números reales no negativos y (( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 xy ).
El análogo del lema de Fekete también se aplica a las funciones subaditivas . Hay extensiones de Lema de Fekete que no requieren la definición de superaditividad anterior a espera de todas las m y n . También hay resultados que permiten deducir la tasa de convergencia hasta el límite cuya existencia se establece en el lema de Fekete si está presente algún tipo de superaditividad y subaditividad. Una buena exposición de este tema se puede encontrar en Steele (1997). [2] [3]
El término "superaditivo" también se aplica a funciones desde un álgebra booleana a los números reales donde, como probabilidades más bajas .
Si f es una función superaditiva, y si 0 está en su dominio, entonces f (0) ≤ 0. Para ver esto, tome la desigualdad en la parte superior:. Por eso
El negativo de una función superaditiva es subaditivo .
Ejemplos de funciones superaditivas
- El determinante es superaditivo para la matriz hermitiana no negativa , es decir, si son hermitianos no negativos entonces .
Esto se sigue del teorema del determinante de Minkowski, que establece de manera más general que es superaditivo (equivalentemente, cóncavo ) [4] para matrices hermitianas no negativas de tamaño n : Si son hermitianos no negativos entonces .
- Información mutua
- Horst Alzer demostró [5] que la función gamma de Hadamard H ( x ) es superaditiva para todos los números reales x , y con x , y ≥ 1,5031.
Ver también
Referencias
- ^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi : 10.1007 / BF01504345 .
- ^ Michael J. Steele (1997). Teoría de la probabilidad y optimización combinatoria . SIAM, Filadelfia. ISBN 0-89871-380-3.
- ^ Michael J. Steele (2011). Conferencias CBMS sobre teoría de la probabilidad y optimización combinatoria . Universidad de Cambridge.
- ^ M. Marcus, H. Minc (1992). Una encuesta sobre la teoría de matrices y las desigualdades de matrices . Dover. Teorema 4.1.8, página 115.
- ^ Horst Alzer (2009). Una propiedad superaditiva de la función gamma de Hadamard . Saltador. doi : 10.1007 / s12188-008-0009-5 .
- Notas
- György Polya y Gábor Szegö. (1976). Problemas y teoremas en análisis, volumen 1 . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-05672-6.
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