Una integral de Choquet es una integral subaditiva o superaditiva creada por el matemático francés Gustave Choquet en 1953. [1] Inicialmente se usó en mecánica estadística y teoría del potencial , [2] pero encontró su camino en la teoría de decisiones en la década de 1980, [3] donde se utiliza como una forma de medir la utilidad esperada de un evento incierto. Se aplica específicamente a las funciones y capacidades de los miembros . En la teoría de la probabilidad imprecisa, la integral de Choquet también se usa para calcular la expectativa más baja inducida por una probabilidad menor de 2 monótonos , o la expectativa superior inducida por una probabilidad superior alterna de 2 .
Usar la integral de Choquet para denotar la utilidad esperada de las funciones de creencias medidas con capacidades es una forma de reconciliar la paradoja de Ellsberg y la paradoja de Allais . [4] [5]
Definición
Se utiliza la siguiente notación:
- - un conjunto.
- - una colección de subconjuntos de .
- - Una función.
- - una función de conjunto monótona .
Asumir que es medible con respecto a , es decir
Entonces la integral de Choquet de con respecto a es definido por:
donde las integrales del lado derecho son la integral de Riemann habitual (los integrandos son integrables porque son monótonos en).
Propiedades
En general, la integral de Choquet no satisface la aditividad. Más específicamente, si no es una medida de probabilidad, puede sostener que
para algunas funciones y .
La integral de Choquet satisface las siguientes propiedades.
Monotonicidad
Si luego
Homogeneidad positiva
Para todos sostiene eso
Aditividad de comonotona
Si son funciones comonotonas, es decir, si para todos sostiene eso
- .
- que se puede considerar como y subiendo y bajando juntos
luego
Subaditividad
Si es 2-alterna, [se necesita aclaración ] entonces
Superaditividad
Si es 2-monótono, [se necesita aclaración ] entonces
Representación alternativa
Dejar denotar una función de distribución acumulativa tal que es integrable. Entonces esta siguiente fórmula a menudo se conoce como Choquet Integral:
dónde .
- escoger Llegar ,
- escoger Llegar
Aplicaciones
La integral de Choquet se aplicó en procesamiento de imágenes, procesamiento de video y visión por computadora. En la teoría de la decisión conductual, Amos Tversky y Daniel Kahneman utilizan los métodos integrales y relacionados de Choquet en su formulación de la teoría de la perspectiva acumulativa. [6]
Ver también
Notas
- ^ Choquet, G. (1953). "Teoría de las capacidades" . Annales de l'Institut Fourier . 5 : 131-295. doi : 10.5802 / aif.53 .
- ^ Denneberg, D. (1994). Medida no aditiva e integral . Académico Kluwer. ISBN 0-7923-2840-X.
- ^ Grabisch, M. (1996). "La aplicación de integrales difusas en la toma de decisiones multicriterio". Revista europea de investigación operativa . 89 (3): 445–456. doi : 10.1016 / 0377-2217 (95) 00176-X .
- ^ Chateauneuf, A .; Cohen, MD (2010). "Extensiones cardinales del modelo de la UE basado en el Choquet Integral". En Bouyssou, Denis; Dubois, Didier; Pirlot, Marc; Prade, Henri (eds.). Proceso de toma de decisiones: conceptos y métodos . doi : 10.1002 / 9780470611876.ch10 .
- ^ Sriboonchita, S .; Wong, WK; Dhompongsa, S .; Nguyen, HT (2010). Dominio estocástico y aplicaciones a finanzas, riesgo y economía . Prensa CRC. ISBN 978-1-4200-8266-1.
- ^ Tversky, A .; Kahneman, D. (1992). "Avances en la teoría de la perspectiva: representación acumulativa de la incertidumbre". Revista de riesgo e incertidumbre . 5 : 297–323. doi : 10.1007 / bf00122574 .
Otras lecturas
- Gilboa, I .; Schmeidler, D. (1992). "Representaciones aditivas de medidas no aditivas y la integral de Choquet". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Incluso, Y .; Lehrer, E. (2014). "Descomposición-integral: unificando Choquet y las integrales cóncavas". Teoría económica . 56 (1): 33–58. doi : 10.1007 / s00199-013-0780-0 . Señor 3190759 .