En matemáticas, un número superperfecto es un entero positivo n que satisface
donde σ es la función sumatoria del divisor . Los números superperfectos son una generalización de números perfectos . El término fue acuñado por D. Suryanarayana (1969). [1]
Los primeros números superperfectos son:
Para ilustrar: se puede ver que 16 es un número superperfecto cuando σ (16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, y σ (31) = 1 + 31 = 32, entonces σ (σ (16) ) = 32 = 2 × 16.
Si n es un número superperfecto par , entonces n debe ser una potencia de 2, 2 k , de modo que 2 k +1 - 1 es un número primo de Mersenne . [1] [2]
No se sabe si hay números superperfectos impares . Un número superperfecto impar n tendría que ser un número cuadrado tal que n o σ ( n ) sea divisible por al menos tres primos distintos. [2] No hay números superperfectos impares por debajo de 7 × 10 24 . [1]
Generalizaciones
Los números perfectos y superperfectos son ejemplos de la clase más amplia de números m -superfectos, que satisfacen
correspondiente am = 1 y 2 respectivamente. Para m ≥ 3, no hay números m -superfectos pares. [1]
Los números m -superfectos son a su vez ejemplos de números ( m , k ) -perfectos que satisfacen [3]
Con esta notación, los números perfectos son (1,2) -perfectos, los números multiperfectos son (1, k ) -perfectos, los números superperfectos son (2,2) -perfectos y los números m -superfectos son ( m , 2) -perfectos. [4] Ejemplos de clases de números perfectos ( m , k ) son:
metro k ( m , k ) -números perfectos Secuencia OEIS 2 2 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 A019279 2 3 8, 21, 512 A019281 2 4 15, 1023, 29127 A019282 2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 A019283 2 7 24, 1536, 47360, 343976 A019284 2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072 A019285 2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 A019286 2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 A019287 2 11 4404480, 57669920, 238608384 A019288 2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 A019289 3 alguna 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ... A019292 4 alguna 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ... A019293
Notas
Referencias
- Número superperfecto en PlanetMath .
- Cohen, GL; te Riele, HJJ (1996). "Iterando la función suma de divisores" . Matemáticas experimentales . 5 (2): 93–100. doi : 10.1080 / 10586458.1996.10504580 . Zbl 0866.11003 .
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . B9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .
- Suryanarayana, D. (1969). "Números super perfectos". Elem. Matemáticas . 24 : 16-17. Zbl 0165.36001 .