En teoría de números , la función sumatoria del divisor es una función que es una suma sobre la función del divisor . Ocurre con frecuencia en el estudio del comportamiento asintótico de la función zeta de Riemann . Los diversos estudios del comportamiento de la función divisoria a veces se denominan problemas de divisores .
Definición
La función sumatoria divisoria se define como
dónde
es la función del divisor . La función divisor cuenta el número de formas en que el número entero n se puede escribir como un producto de dos números enteros. De manera más general, se define
donde d k ( n ) cuenta el número de formas en que n se puede escribir como un producto de k números. Esta cantidad se puede visualizar como el recuento del número de puntos de celosía cercados por una superficie hiperbólica en k dimensiones. Por lo tanto, para k = 2, D ( x ) = D 2 ( x ) cuenta el número de puntos en un retículo cuadrado delimitado a la izquierda por el eje vertical, en la parte inferior por el eje horizontal y en la parte superior. junto a la hipérbola jk = x . A grandes rasgos, esta forma puede concebirse como un simplex hiperbólico . Esto nos permite proporcionar una expresión alternativa para D ( x ) y una forma sencilla de calcularla en hora:
- , dónde
Si la hipérbola en este contexto se reemplaza por un círculo, la determinación del valor de la función resultante se conoce como el problema del círculo de Gauss .
Secuencia de D (n) (secuencia A006218 en la OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...
El problema del divisor de Dirichlet
Encontrar una forma cerrada para esta expresión sumada parece estar más allá de las técnicas disponibles, pero es posible dar aproximaciones. El comportamiento principal de la serie viene dado por
dónde es la constante de Euler-Mascheroni , y el término de error es
Aquí, denota notación Big-O . Esta estimación se puede probar usando el método de hipérbola de Dirichlet , y fue establecido por primera vez por Dirichlet en 1849. [1] : 37-38,69 El problema del divisor de Dirichlet , expresado con precisión, es mejorar este límite de error al encontrar el valor más pequeño de para cual
es cierto para todos . A día de hoy, este problema sigue sin resolverse. El progreso ha sido lento. Muchos de los mismos métodos funcionan para este problema y para el problema del círculo de Gauss , otro problema de conteo de puntos reticulares. La sección F1 de Problemas no resueltos en teoría de números [2] analiza lo que se sabe y lo que no se sabe acerca de estos problemas.
- En 1904, G. Voronoi demostró que el término de error se puede mejorar para [3] : 381
- En 1916, GH Hardy demostró que. En particular, demostró que durante algunas constantes, existen valores de x para los cualesy valores de x para los cuales. [1] : 69
- En 1922, J. van der Corput mejoró el límite de Dirichlet a. [3] : 381
- En 1928, J. van der Corput demostró que. [3] : 381
- En 1950, Chih Tsung-tao e independientemente en 1953 HE Richert demostró que. [3] : 381
- En 1969, Grigori Kolesnik demostró que. [3] : 381
- En 1973, Grigori Kolesnik demostró que. [3] : 381
- En 1982, Grigori Kolesnik demostró que. [3] : 381
- En 1988, H. Iwaniec y CJ Mozzochi demostraron que. [4]
- En 2003, MN Huxley mejoró esto para mostrar que. [5]
Entonces, se encuentra en algún lugar entre 1/4 y 131/416 (aproximadamente 0,3149); se conjetura ampliamente que es 1/4. La evidencia teórica da crédito a esta conjetura, ya quetiene una distribución limitante (no gaussiana). [6] El valor de 1/4 también se seguiría de una conjetura sobre pares de exponentes . [7]
Problema del divisor de Piltz
En el caso generalizado, uno tiene
dónde es un polinomio de grado . Usando estimaciones simples, se muestra fácilmente que
para entero . Como en el caso, no se conoce el mínimo del límite para ningún valor de . Calcular estos infima se conoce como el problema del divisor de Piltz, por el nombre del matemático alemán Adolf Piltz (ver también su página en alemán). Definiendo el orden como el valor más pequeño para el que sostiene, para cualquier , uno tiene los siguientes resultados (tenga en cuenta que es el del apartado anterior):
- EC Titchmarsh conjetura que
Transformada de Mellin
Ambas porciones se pueden expresar como transformadas de Mellin :
por . Aquí,es la función zeta de Riemann . Del mismo modo, uno tiene
con . El término principal de se obtiene desplazando el contorno más allá del doble polo en : el término principal es solo el residuo , según la fórmula integral de Cauchy . En general, uno tiene
y lo mismo para , por .
Notas
- ^ a b Montgomery, Hugh ; RC Vaughan (2007). Teoría de los números multiplicativos I: Teoría clásica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
- ^ Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-20860-2.
- ^ a b c d e f g Ivic, Aleksandar (2003). La función Zeta de Riemann . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42813-3.
- ^ Iwaniec, H .; CJ Mozzochi (1988). "Sobre los problemas de divisores y círculos". Revista de teoría de números . 29 : 60–93. doi : 10.1016 / 0022-314X (88) 90093-5 .
- ^ a b Huxley, MN (2003). "Sumas exponenciales y puntos de celosía III". Proc. London Math. Soc . 87 (3): 591–609. doi : 10.1112 / S0024611503014485 . ISSN 0024-6115 . Zbl 1065.11079 .
- ^ Heath-Brown, DR (1992). "La distribución y momentos del término de error en el problema del divisor de Dirichlet" . Acta Arithmetica . 60 (4): 389–415. doi : 10.4064 / aa-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036 . S2CID 59450869 .
Teorema 1 La función tiene una función de distribución
- ^ Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 84 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 59. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .
- ^ G. Kolesnik. Sobre la estimación de múltiples sumas exponenciales, en "Recent Progress in Analytic Number Theory", Symposium Durham 1979 (Vol. 1), Academic, Londres, 1981, págs. 231–246.
- ^ Aleksandar Ivić. La teoría de la función Zeta de Riemann con aplicaciones (Teorema 13.2). John Wiley e hijos 1985.
Referencias
- HM Edwards , Función Zeta de Riemann , (1974) Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-41740-9
- EC Titchmarsh, La teoría de la función zeta de Riemann , (1951) Oxford en Clarendon Press, Oxford. (Consulte el capítulo 12 para una discusión del problema del divisor generalizado)
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001 (Proporciona un enunciado introductorio del problema del divisor de Dirichlet).
- Se levantó. Un curso de teoría de números. , Oxford, 1988.
- MN Huxley (2003) 'Sumas exponenciales y puntos de celosía III', Proc. London Math. Soc. (3) 87: 591–609