En álgebra conmutativa , el soporte de un módulo M sobre un anillo conmutativo A es el conjunto de todos los ideales primos de A tales que(es decir, la localización de M enno es igual a cero). [1] Se denota por. El soporte es, por definición, un subconjunto del espectro de una .
Propiedades
- si y solo si su soporte está vacío.
- Dejar ser una secuencia exacta de módulos A. Luego
- Tenga en cuenta que esta unión no puede ser una unión disjunta.
- Si es una suma de submódulos , luego
- Si es un módulo A generado finitamente , entonceses el conjunto de todos los ideales primos que contienen el aniquilador de M . En particular, está cerrado en la topología de Zariski en Spec ( A ).
- Si son módulos A generados finitamente , entonces
- Si es un módulo A generado finitamente e I es un ideal de A , entonces es el conjunto de todos los ideales primarios que contienen Esto es .
Soporte de una gavilla cuasicoherente
Si F es una gavilla cuasicoherente en un esquema X , el soporte de F es el conjunto de todos los puntos x ∈ X tales que el tallo F x es distinto de cero. Esta definición es similar a la definición del soporte de una función en un espacio X , y esta es la motivación para usar la palabra "soporte". La mayoría de las propiedades del soporte se generalizan de módulos a haces cuasicoherentes palabra por palabra. Por ejemplo, el apoyo de un fajo coherente (o más generalmente, un tipo gavilla finito) es un subespacio cerrado de X . [2]
Si M es un módulo sobre un anillo A , entonces el soporte de M como módulo coincide con el soporte de la gavilla cuasicoherente asociada .en el esquema afín Spec ( A ). Además, sies una cubierta afín de un esquema X , entonces el soporte de un haz cuasicoherente F es igual a la unión de soportes de los módulos asociados M α sobre cada A α . [3]
Ejemplos de
Como se señaló anteriormente, un ideal primordial está en el apoyo si y sólo si contiene el aniquilador de . [4] Por ejemplo, el aniquilador de
es el ideal . Esto implica que
el locus de desaparición del polinomio. Mirando la breve secuencia exacta
podríamos pensar que el apoyo de es isomorfo a
que es el complemento del locus de fuga del polinomio. Sin embargo, desde es un dominio integral, el ideal es isomorfo a como módulo, por lo que su soporte es todo el espacio.
El soporte de un módulo finito sobre un anillo noetheriano está siempre cerrado bajo la especialización. [ cita requerida ]
Ahora, si tomamos dos polinomios en un dominio integral que forman un ideal de intersección completo , la propiedad del tensor nos muestra que
Ver también
Referencias
- ^ EGA 0 I , 1.7.1.
- ^ Los autores del proyecto Stacks (2017). Proyecto de pilas, etiqueta 01B4 .
- ^ Los autores del proyecto Stacks (2017). Proyecto de pilas, etiqueta 01AS .
- ^ Eisenbud, David. Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . corolario 2.7. pag. 67.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .
- Atiyah, MF e IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 SEÑOR242802