El código tórico es un código topológico de corrección de errores cuánticos y un ejemplo de un código estabilizador , definido en una red de espín bidimensional [1]. Es el más simple y mejor estudiado de los modelos dobles cuánticos. [2] También es el ejemplo más simple de orden topológico - orden topológico Z 2 (estudiado por primera vez en el contexto de líquido de espín Z 2 en 1991). [3] [4] El código tórico también puede considerarse una teoría de la galga de celosía Z 2 en un límite particular. [5] Fue presentado por Alexei Kitaev .
El código tórico recibe su nombre de sus condiciones de contorno periódicas, dándole la forma de un toro . Estas condiciones dan al modelo invariancia traslacional, que es útil para el estudio analítico. Sin embargo, la realización experimental requiere condiciones de frontera abiertas, lo que permite que el sistema se incruste en una superficie 2D. El código resultante se conoce normalmente como código planar. Esto tiene un comportamiento idéntico al código tórico en la mayoría de los casos, pero no en todos.
Corrección de errores y cálculo
El código tórico se define en una celosía bidimensional, generalmente elegida para ser la celosía cuadrada , con un giro de ½ grado de libertad ubicado en cada borde. Se eligen para que sean periódicos. Los operadores de estabilizador se definen en los giros alrededor de cada vérticey plaqueta [ definición necesaria ] (o cara, es decir, un vértice del enrejado doble) [ aclaración necesaria ] de la celosía de la siguiente manera,
Donde aquí usamos para denotar los bordes que tocan el vértice , y para denotar los bordes que rodean la placa . El espacio estabilizador del código es aquel para el que todos los estabilizadores actúan trivialmente, por lo tanto,
para cualquier estado . Para el código tórico, este espacio es de cuatro dimensiones, por lo que se puede utilizar para almacenar dos qubits de información cuántica . Esto se puede demostrar considerando el número de operadores de estabilizadores independientes. La ocurrencia de errores moverá el estado fuera del espacio del estabilizador, dando como resultado vértices y placas para los cuales la condición anterior no se cumple. Las posiciones de estas violaciones es el síndrome del código, que se puede utilizar para corregir errores.
La naturaleza única de los códigos topológicos, como el código tórico, es que las violaciones del estabilizador pueden interpretarse como cuasipartículas . Específicamente, si el código está en un estado tal que,
,
una cuasipartícula conocida como Anyon puede decirse que existe en el vértice. Del mismo modo, violaciones de la están asociados con los llamados anyons en las plaquetas. Por tanto, el espacio del estabilizador corresponde al vacío anónico. Los errores de un solo giro hacen que se creen y se transporten pares de anyones alrededor de la red.
Cuando los errores crean un par anyon y mueven a los anyon, uno puede imaginar una ruta que conecta los dos compuestos por todos los enlaces sobre los que se actúa. Si los anyon se encuentran y son aniquilados, esta ruta describe un bucle. Si el bucle es topológicamente trivial, no tiene ningún efecto sobre la información almacenada. La aniquilación de los anyons, en este caso, corrige todos los errores involucrados en su creación y transporte. Sin embargo, si el bucle es topológicamente no trivial, aunque la re-aniquilación de los anyons devuelve el estado al espacio estabilizador, también implementa una operación lógica sobre la información almacenada. Por tanto, los errores, en este caso, no se corrigen sino que se consolidan.
Considere el modelo de ruido para el cual ocurren errores de fase y bit de forma independiente en cada espín, ambos con probabilidad p . Cuando p es bajo, esto creará pares escasamente distribuidos de anyones que no se han movido lejos de su punto de creación. La corrección se puede lograr identificando los pares en los que se crearon los anyons (hasta una clase de equivalencia) y luego volver a aniquilarlos para eliminar los errores. Sin embargo, a medida que p aumenta, se vuelve más ambiguo en cuanto a cómo se pueden emparejar los anyones sin arriesgar la formación de bucles topológicamente no triviales. Esto proporciona un umbral de probabilidad por debajo del cual la corrección de errores tendrá éxito casi con toda seguridad. A través de un mapeo al modelo de Ising de enlace aleatorio, se ha encontrado que esta probabilidad crítica es de alrededor del 11%. [6]
También se pueden considerar otros modelos de error y encontrar umbrales. En todos los casos estudiados hasta ahora, se ha encontrado que el código satura el límite de Hashing . Para algunos modelos de error, como los errores sesgados en los que los errores de bits ocurren con más frecuencia que los errores de fase o viceversa, se deben utilizar celosías distintas a la cuadrícula para lograr los umbrales óptimos. [7] [8]
Estos umbrales son límites superiores y son inútiles a menos que se encuentren algoritmos eficientes para alcanzarlos. El algoritmo más utilizado es la combinación perfecta de peso mínimo . [9] Cuando se aplica al modelo de ruido con errores independientes de bit y flip, se alcanza un umbral de alrededor del 10,5%. Esto está un poco por debajo del máximo del 11%. Sin embargo, la coincidencia no funciona tan bien cuando existen correlaciones entre los errores de fase y de bit, como con el ruido de despolarización.
Se han considerado los medios para realizar el cálculo cuántico sobre la información lógica almacenada dentro del código tórico, y las propiedades del código proporcionan tolerancia a fallas. Se ha demostrado que ampliar el espacio del estabilizador utilizando 'agujeros', vértices o placas en los que no se aplican los estabilizadores, permite codificar muchos qubits en el código. Sin embargo, un conjunto universal de puertas unitarias no se puede implementar de manera tolerante a fallas mediante operaciones unitarias, por lo que se requieren técnicas adicionales para lograr la computación cuántica. Por ejemplo, la computación cuántica universal se puede lograr preparando estados mágicos a través de stubs cuánticos codificados llamados tidBits que se usan para teletransportarse en las puertas adicionales requeridas cuando se reemplazan como qubit. Además, la preparación de los estados mágicos debe ser tolerante a fallas, lo que se puede lograr mediante la destilación de estados mágicos en estados mágicos ruidosos. Se ha encontrado un esquema basado en mediciones para el cálculo cuántico basado en este principio, cuyo umbral de error es el más alto conocido para una arquitectura bidimensional. [10] [11]
Hamiltoniano y autocorrección
Dado que los operadores estabilizadores del código tórico son cuasilocales, actuando solo en espines ubicados cerca uno del otro en una red bidimensional, no es poco realista definir el siguiente hamiltoniano,
El espacio de estado fundamental de este hamiltoniano es el espacio estabilizador del código. Los estados de excitación corresponden a los de los anyones, con la energía proporcional a su número. Por tanto, los errores locales son suprimidos enérgicamente por la brecha, que ha demostrado ser estable frente a perturbaciones locales. [12] Sin embargo, los efectos dinámicos de tales perturbaciones aún pueden causar problemas al código. [13] [14]
La brecha también le da al código cierta resistencia contra errores térmicos, lo que permite que se pueda corregir casi con seguridad durante un cierto tiempo crítico. Este tiempo aumenta con, pero dado que los aumentos arbitrarios de este acoplamiento no son realistas, la protección dada por el hamiltoniano todavía tiene sus límites.
A menudo se consideran los medios para convertir el código tórico, o el código plano, en una memoria cuántica totalmente autocorregible. La autocorrección significa que el hamiltoniano suprimirá naturalmente los errores de forma indefinida, lo que dará lugar a una vida útil que diverge en el límite termodinámico. Se ha encontrado que esto es posible en el código tórico solo si existen interacciones de largo alcance entre los anyones. [15] [16] Se han hecho propuestas para la realización de estos en el laboratorio [17] Otro enfoque es la generalización del modelo a dimensiones superiores, con la autocorrección posible en 4D con sólo interacciones cuasi-locales. [18]
Modelo Anyon
Como se mencionó anteriormente, los llamados y las cuasipartículas están asociadas con los vértices y las plaquetas del modelo, respectivamente. Estas cuasipartículas se pueden describir como anyons , debido al efecto no trivial de su trenzado. Específicamente, aunque ambas especies de anónimas son bosónicas con respecto a sí mismas, el trenzado de doses o no tiene ningún efecto, una monodromía completa de un y un producirá una fase de . Tal resultado no es consistente con las estadísticas bosónicas o fermiónicas y, por lo tanto, es anónico.
Las estadísticas mutuas anónicas de las cuasipartículas demuestran las operaciones lógicas realizadas por bucles topológicamente no triviales. Considere la creación de un par deanyons seguido por el transporte de uno alrededor de un bucle topológicamente no trivial, como el que se muestra en el toro en azul en la figura de arriba, antes de que el par sea reanimado. El estado se devuelve al espacio del estabilizador, pero el bucle implementa una operación lógica en uno de los qubits almacenados. Sianyons se mueven de manera similar a través del bucle rojo sobre una operación lógica también resultará. La fase deEl resultado al trenzar los anyons muestra que estas operaciones no conmutan, sino que anticonmutan. Por tanto, pueden interpretarse como lógicas y Operadores Pauli en uno de los qubits almacenados. El correspondiente Pauli lógico en el otro qubit corresponde a un cualquiera que siga el bucle azul y un cualquiera que siga al rojo. No se produce trenzado cuando y pasar por caminos paralelos, la fase de por tanto no surge y las correspondientes operaciones lógicas conmutan. Esto es lo que debería esperarse, ya que estas operaciones de forma actúan sobre diferentes qubits.
Debido al hecho de que ambos y anyons se pueden crear en pares, es evidente que ambas cuasipartículas son sus propias antipartículas. Una partícula compuesta compuesta por dosanyons es, por tanto, equivalente al vacío, ya que el vacío puede producir tal par y ese par se aniquilará en el vacío. En consecuencia, estos compuestos tienen estadísticas bosónicas, ya que su trenzado siempre es completamente trivial. Un compuesto de dosanyons es igualmente equivalente al vacío. La creación de tales compuestos se conoce como fusión de aniones y los resultados se pueden escribir en términos de reglas de fusión. En este caso, estos toman la forma,
Dónde denota el vacío. Un compuesto de un y un no es trivial. Por tanto, esto constituye otra cuasipartícula en el modelo, a veces denotado, con regla de fusión,
De las estadísticas de trenzado de los anyons vemos que, dado que cualquier intercambio único de dos implicará una monodromía completa de un constituyente y , una fase de resultará. Esto implica auto-estadísticas fermiónicas para el's.
Generalizaciones
No se requiere el uso de un toro para formar un código de corrección de errores. También se pueden utilizar otras superficies, con sus propiedades topológicas determinando la degeneración del espacio estabilizador. En general, los códigos de corrección de errores cuánticos definidos en redes de espín bidimensionales de acuerdo con los principios anteriores se conocen como códigos de superficie. [19]
También es posible definir códigos similares utilizando giros de mayor dimensión. Estos son los modelos cuánticos dobles [20] y los modelos de red de cadenas , [21] que permiten una mayor riqueza en el comportamiento de los anones, por lo que pueden utilizarse para propuestas más avanzadas de cálculo cuántico y corrección de errores. [22] Estos no solo incluyen modelos con anyons abelianos, sino también aquellos con estadísticas no abelianas. [23] [24]
Progreso experimental
La demostración más explícita de las propiedades del código tórico ha sido en enfoques basados en estados. En lugar de intentar realizar el hamiltoniano, estos simplemente preparan el código en el espacio del estabilizador. Mediante esta técnica, los experimentos han podido demostrar la creación, el transporte y las estadísticas de los anyons. [25] [26] Experimentos más recientes también han podido demostrar las propiedades de corrección de errores del código. [27]
Para las realizaciones del código tórico y sus generalizaciones con un hamiltoniano, se ha avanzado mucho utilizando uniones de Josephson . La teoría de cómo se pueden implementar los hamiltonianos se ha desarrollado para una amplia clase de códigos topológicos. [28] También se ha realizado un experimento, realizando el código tórico hamiltoniano para una pequeña red y demostrando la memoria cuántica proporcionada por su estado fundamental degenerado. [29]
Otros trabajos teóricos y experimentales hacia realizaciones se basan en átomos fríos. Se ha explorado un conjunto de herramientas de métodos que pueden utilizarse para realizar códigos topológicos con celosías ópticas, [30] al igual que experimentos relacionados con instancias mínimas de orden topológico. [31] Tales instancias mínimas del código tórico se han realizado experimentalmente dentro de placas cuadradas aisladas. [32] También se está avanzando en las simulaciones del modelo tórico con átomos de Rydberg , en el que se pueden demostrar el hamiltoniano y los efectos del ruido disipativo. [33]
Referencias
- ^ AY Kitaev, Actas de la 3ª Conferencia Internacional de Medición y Comunicación Cuántica, Ed. O. Hirota, AS Holevo y CM Caves (Nueva York, Plenum, 1997).
- ^ Kitaev, Alexei (2006). "Anyons en un modelo exactamente resuelto y más allá". Annals of Physics . Elsevier BV. 321 (1): 2-111. arXiv : cond-mat / 0506438 . doi : 10.1016 / j.aop.2005.10.005 . ISSN 0003-4916 .
- ^ Leer, N .; Sachdev, Subir (1 de marzo de 1991). "Large-Nexpansion para antiferromagnetos cuánticos frustrados". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 66 (13): 1773-1776. Código Bibliográfico : 1991PhRvL..66.1773R . doi : 10.1103 / physrevlett.66.1773 . ISSN 0031-9007 . PMID 10043303 .
- ^ Wen, XG (1 de julio de 1991). "Teoría de campo medio de estados espín-líquido con brecha de energía finita y órdenes topológicos". Physical Review B . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 44 (6): 2664–2672. Código Bibliográfico : 1991PhRvB..44.2664W . doi : 10.1103 / physrevb.44.2664 . ISSN 0163-1829 . PMID 9999836 .
- ^ Fradkin, Eduardo; Shenker, Stephen H. (15 de junio de 1979). "Diagramas de fase de las teorías de calibre de celosía con campos de Higgs". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 19 (12): 3682–3697. Código Bibliográfico : 1979PhRvD..19.3682F . doi : 10.1103 / physrevd.19.3682 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Dennis, Eric; Kitaev, Alexei; Landahl, Andrew; Preskill, John (2002). "Memoria cuántica topológica". Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 43 (9): 4452–4505. arXiv : quant-ph / 0110143 . Código bibliográfico : 2002JMP .... 43.4452D . doi : 10.1063 / 1.1499754 . ISSN 0022-2488 .
- ^ Röthlisberger, Beat; Wootton, James R .; Heath, Robert M .; Pachos, Jiannis K .; Loss, Daniel (13 de febrero de 2012). "Dinámicas incoherentes en el código tórico sujeto a desorden". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 85 (2): 022313. arXiv : 1112.1613 . doi : 10.1103 / physreva.85.022313 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Bombin, H .; Andrist, Ruben S .; Ohzeki, Masayuki; Katzgraber, Helmut G .; Martin-Delgado, MA (30 de abril de 2012). "Fuerte resiliencia de los códigos topológicos a la despolarización" . Physical Review X . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 2 (2): 021004. doi : 10.1103 / physrevx.2.021004 . ISSN 2160-3308 .
- ^ Edmonds, Jack (1965). "Caminos, árboles y flores". Revista Canadiense de Matemáticas . Sociedad Matemática Canadiense. 17 : 449–467. doi : 10.4153 / cjm-1965-045-4 . ISSN 0008-414X .
- ^ Raussendorf, Robert; Harrington, Jim (11 de mayo de 2007). "Computación cuántica tolerante a fallas con umbral alto en dos dimensiones". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 98 (19): 190504. arXiv : quant-ph / 0610082 . Código Bibliográfico : 2007PhRvL..98s0504R . doi : 10.1103 / physrevlett.98.190504 . ISSN 0031-9007 . PMID 17677613 .
- ^ Raussendorf, R; Harrington, J; Goyal, K (29 de junio de 2007). "Tolerancia a fallas topológicas en el cálculo cuántico del estado del clúster" . Nueva Revista de Física . Publicación de IOP. 9 (6): 199-199. Código bibliográfico : 2007NJPh .... 9..199R . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 9/6/199 . ISSN 1367-2630 .
- ^ Bravyi, Sergey; Hastings, Matthew B .; Michalakis, Spyridon (2010). "Orden cuántico topológico: estabilidad ante perturbaciones locales". Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 51 (9): 093512. arXiv : 1001.0344 . doi : 10.1063 / 1.3490195 . ISSN 0022-2488 .
- ^ F. Pastawski; A. Kay; N. Schuch; JI Cirac (2010). "Limitaciones de la protección pasiva de la información cuántica". Computación e información cuántica . Prensa de Rinton. 10 (7 y 8): 580. arXiv : 0911.3843 . doi : 10.26421 / qic10.7-8 . ISSN 1533-7146 .
- ^ Freeman, C. Daniel; Herdman, CM; Gorman, DJ; Whaley, KB (7 de octubre de 2014). "Dinámica de relajación del código tórico en contacto con un reservorio térmico: escalamiento de tamaño finito en un régimen de baja temperatura". Physical Review B . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 90 (13): 134302. arXiv : 1405.2315 . doi : 10.1103 / physrevb.90.134302 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Hamma, Alioscia; Castelnovo, Claudio; Chamon, Claudio (18 de junio de 2009). "Modelo de bosón tórico: hacia una memoria cuántica topológica a temperatura finita". Physical Review B . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 79 (24): 245122. doi : 10.1103 / physrevb.79.245122 . hdl : 1721,1 / 51820 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Chesi, Stefano; Röthlisberger, Beat; Loss, Daniel (6 de agosto de 2010). "Memoria cuántica autocorregible en un entorno térmico". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 82 (2): 022305. arXiv : 0908.4264 . doi : 10.1103 / physreva.82.022305 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Pedrocchi, Fabio L .; Chesi, Stefano; Loss, Daniel (10 de marzo de 2011). "Memoria cuántica acoplada a modos de cavidad". Physical Review B . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 83 (11): 115415. arXiv : 1011.3762 . doi : 10.1103 / physrevb.83.115415 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Alicki, R .; Horodecki, M .; Horodecki, P .; Horodecki, R. (2010). "Sobre la estabilidad térmica del Qubit topológico en el modelo 4D de Kitaev". Sistemas abiertos y dinámica de la información . World Scientific Pub Co Pte Lt. 17 (01): 1–20. arXiv : 0811.0033 . doi : 10.1142 / s1230161210000023 . ISSN 1230-1612 .
- ^ Ghosh, Joydip; Fowler, Austin G .; Geller, Michael R. (19 de diciembre de 2012). "Código de superficie con decoherencia: un análisis de tres arquitecturas superconductoras". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 86 (6): 062318. arXiv : 1210.5799 . doi : 10.1103 / physreva.86.062318 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Bullock, Stephen S; Brennen, Gavin K (14 de marzo de 2007). "Códigos de superficie Qudit y teoría de gauge con grupos cíclicos finitos". Revista de Física A: Matemática y Teórica . Publicación de IOP. 40 (13): 3481–3505. arXiv : quant-ph / 0609070 . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 40/13/013 . ISSN 1751-8113 .
- ^ Levin, Michael A. y Xiao-Gang Wen (12 de enero de 2005). "Condensación de red de cuerdas: un mecanismo físico para las fases topológicas". Physical Review B . 71 (45110): 21. arXiv : cond-mat / 0404617 . Código Bibliográfico : 2005PhRvB..71d5110L . doi : 10.1103 / PhysRevB.71.045110 .
- ^ Wootton, James R .; Lahtinen, Ville; Doucot, Benoit; Pachos, Jiannis K. (2011). "Ingeniería de memorias topológicas complejas a partir de modelos abelianos simples". Annals of Physics . Elsevier BV. 326 (9): 2307–2314. arXiv : 0908.0708 . doi : 10.1016 / j.aop.2011.05.008 . ISSN 0003-4916 .
- ^ Aguado, M .; Brennen, GK; Verstraete, F .; Cirac, JI (22 de diciembre de 2008). "Creación, manipulación y detección de Anyons abelianos y no abelianos en celosías ópticas". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 101 (26): 260501. doi : 10.1103 / physrevlett.101.260501 . hdl : 1854 / LU-8589252 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Brennen, GK; Aguado, M; Cirac, JI (22 de mayo de 2009). "Simulaciones de modelos dobles cuánticos" . Nueva Revista de Física . Publicación de IOP. 11 (5): 053009. doi : 10.1088 / 1367-2630 / 11/5/053009 . ISSN 1367-2630 .
- ^ Pachos, JK; Wieczorek, W; Schmid, C; Kiesel, N; Pohlner, R; Weinfurter, H (12 de agosto de 2009). "Revelar características anyonic en una simulación cuántica de código tórico" . Nueva Revista de Física . Publicación de IOP. 11 (8): 083010. doi : 10.1088 / 1367-2630 / 11/8/083010 . ISSN 1367-2630 .
- ^ C.-Y. Lu y col., Phys. Rev. Lett. 102 , 030502 (2009).
- ^ Yao, Xing-Can; Wang, Tian-Xiong; Chen, Hao-Ze; Gao, Wei-Bo; Fowler, Austin G .; Raussendorf, Robert; Chen, Zeng-Bing; Liu, Nai-Le; Lu, Chao-Yang; Deng, You-Jin; Chen, Yu-Ao; Pan, Jian-Wei (22 de febrero de 2012). "Demostración experimental de corrección de errores topológicos". Naturaleza . Springer Nature. 482 (7386): 489–494. arXiv : 0905.1542 . Código bibliográfico : 2012Natur.482..489Y . doi : 10.1038 / nature10770 . ISSN 0028-0836 . PMID 22358838 .
- ^ Douçot, Benoit; Ioffe, Lev B .; Vidal, Julien (3 de junio de 2004). "Teorías discretas de calibre no abeliano en matrices de unión de Josephson y computación cuántica". Physical Review B . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 69 (21): 214501. arXiv : cond-mat / 0302104 . doi : 10.1103 / physrevb.69.214501 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Gladchenko, Sergey; Olaya, David; Dupont-Ferrier, Eva; Douçot, Benoit; Ioffe, Lev B .; Gershenson, Michael E. (30 de noviembre de 2008). "Nanocircuitos superconductores para qubits protegidos topológicamente". Física de la naturaleza . Springer Science and Business Media LLC. 5 (1): 48–53. arXiv : 0802.2295 . doi : 10.1038 / nphys1151 . ISSN 1745-2473 .
- ^ Micheli, A .; Brennen, GK; Zoller, P. (30 de abril de 2006). "Una caja de herramientas para modelos de espín de celosía con moléculas polares". Física de la naturaleza . Springer Nature. 2 (5): 341–347. arXiv : quant-ph / 0512222 . doi : 10.1038 / nphys287 . ISSN 1745-2473 .
- ^ Paredes, Belén; Bloch, Immanuel (1 de enero de 2008). "Instancias mínimas de materia topológica en una placa óptica". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 77 (2): 023603. arXiv : 0711.3796 . doi : 10.1103 / physreva.77.023603 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Dai, Hanning; Yang, Bing; Reingruber, Andreas; Sun, Hui; Xu, Xiao-Fan; Chen, Yu-Ao; Yuan, Zhen-Sheng; Pan, Jian-Wei (28 de agosto de 2017). "Interacciones de intercambio de anillos de cuatro cuerpos y estadísticas anónicas dentro de un Hamiltoniano de código tórico mínimo". Física de la naturaleza . Springer Nature. 13 (2): 1195. arXiv : 1602.05709 . doi : 10.1038 / NPHYS4243 . ISSN 1745-2473 .
- ^ Weimer, Hendrik; Müller, Markus; Lesanovsky, Igor; Zoller, Peter; Büchler, Hans Peter (14 de marzo de 2010). "Un simulador cuántico de Rydberg". Física de la naturaleza . Springer Science and Business Media LLC. 6 (5): 382–388. arXiv : 0907.1657 . doi : 10.1038 / nphys1614 . ISSN 1745-2473 .
enlaces externos
- https://skepsisfera.blogspot.com/2010/04/kitaevs-toric-code.html