La máquina oscilante de Atwood (SAM) es un mecanismo que se asemeja a una máquina simple de Atwood, excepto que a una de las masas se le permite oscilar en un plano bidimensional, produciendo un sistema dinámico que es caótico para algunos parámetros del sistema y condiciones iniciales .
En concreto, comprende dos masas (el péndulo, la masa y contrapeso, masa ) conectados por una cuerda inextensible , sin masa, suspendida sobre dos poleas sin fricción de radio cero, de modo que el péndulo puede oscilar libremente alrededor de su polea sin chocar con el contrapeso. [1]
La máquina convencional de Atwood solo permite soluciones "fuera de control" ( es decir , el péndulo o el contrapeso eventualmente chocan con su polea), excepto por. Sin embargo, la máquina de balanceo de Atwood contiene un gran espacio de parámetros de condiciones que conducen a una variedad de movimientos que pueden clasificarse en terminantes o no terminantes, periódicos, cuasiperiódicos o caóticos, limitados o ilimitados, singulares o no singulares [1] [2] debido a la fuerza centrífuga reactiva que contrarresta el peso del contrapeso. [1] La investigación sobre el SAM comenzó como parte de una tesis senior de 1982 titulada Smiles and Teardrops (refiriéndose a la forma de algunas trayectorias del sistema) por Nicholas Tufillaro en Reed College , dirigida por David J. Griffiths . [3]
Ecuaciones de movimiento
La máquina oscilante de Atwood es un sistema con dos grados de libertad. Podemos derivar sus ecuaciones de movimiento utilizando la mecánica hamiltoniana o la mecánica lagrangiana . Deja que la masa oscilante sea y la masa no oscilante sea . La energía cinética del sistema,, es:
dónde es la distancia de la masa oscilante a su pivote, y es el ángulo de la masa oscilante con respecto a apuntar directamente hacia abajo. La energía potencialse debe únicamente a la aceleración debida a la gravedad :
Entonces podemos escribir el Lagrangiano, , y el hamiltoniano, del sistema:
Entonces podemos expresar el hamiltoniano en términos de los momentos canónicos, , :
El análisis de Lagrange se puede aplicar para obtener dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de segundo orden en y . Primero el ecuación:
Y el ecuación:
Simplificamos las ecuaciones definiendo la relación de masa . Lo anterior entonces se convierte en:
El análisis hamiltoniano también se puede aplicar para determinar cuatro EDO de primer orden en términos de , y sus correspondientes momentos canónicos y :
Observe que en ambas derivaciones, si se establece y velocidad angular a cero, el caso especial resultante es la máquina Atwood regular no oscilante :
La máquina oscilante de Atwood tiene un espacio de fase de cuatro dimensiones definido por, y sus correspondientes momentos canónicos y . Sin embargo, debido a la conservación de energía, el espacio de fase está limitado a tres dimensiones.
Sistema con poleas macizas
Si se considera que las poleas del sistema tienen un momento de inercia y radio , el hamiltoniano del SAM es entonces: [4]
Donde M t es la masa total efectiva del sistema,
Esto se reduce a la versión anterior cuando y convertirse en cero. Las ecuaciones de movimiento son ahora: [4]
dónde .
Integrabilidad
Los sistemas hamiltonianos se pueden clasificar como integrables y no integrables . SAM es integrable cuando la relación de masa. [5] El sistema también parece bastante normal para, pero el caso es la única relación de masa integrable conocida. Se ha demostrado que el sistema no es integrable para. [6] Para muchos otros valores de la relación de masa (y condiciones iniciales), SAM muestra un movimiento caótico .
Los estudios numéricos indican que cuando la órbita es singular (condiciones iniciales: ), el péndulo ejecuta un solo bucle simétrico y vuelve al origen, independientemente del valor de . Cuándoes pequeño (casi vertical), la trayectoria describe una "lágrima", cuando es grande, describe un "corazón". Estas trayectorias se pueden resolver exactamente algebraicamente, lo cual es inusual para un sistema con un hamiltoniano no lineal. [7]
Trayectorias
La masa oscilante de la máquina oscilante de Atwood experimenta trayectorias u órbitas interesantes cuando se somete a diferentes condiciones iniciales y para diferentes relaciones de masa. Estos incluyen órbitas periódicas y órbitas de colisión.
Órbitas no singulares
Para ciertas condiciones, el sistema exhibe un movimiento armónico complejo . [1] La órbita se denomina no singular si la masa oscilante no toca la polea.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Órbitas periódicas
Cuando los diferentes componentes armónicos del sistema están en fase, la trayectoria resultante es simple y periódica, como la trayectoria de la "sonrisa", que se asemeja a la de un péndulo ordinario , y varios bucles. [3] [8] En general, existe una órbita periódica cuando se cumple lo siguiente: [1]
El caso más simple de órbitas periódicas es la órbita de la "sonrisa", que Tufillaro denominó órbitas Tipo A en su artículo de 1984. [1]
Una órbita de "sonrisa" de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Órbitas singulares
El movimiento es singular si en algún punto, la masa oscilante pasa por el origen. Dado que el sistema es invariante bajo la inversión y traslación del tiempo, es equivalente a decir que el péndulo comienza en el origen y se dispara hacia afuera: [1]
La región cercana al pivote es singular, ya que está cerca de cero y las ecuaciones de movimiento requieren dividir por . Como tal, se deben utilizar técnicas especiales para analizar rigurosamente estos casos. [9]
Los siguientes son gráficos de órbitas singulares seleccionadas arbitrariamente.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para , y velocidad inicial cero.
Órbitas de colisión
Las órbitas de colisión (o terminación singular) son un subconjunto de órbitas singulares formadas cuando la masa oscilante es expulsada de su pivote con una velocidad inicial, de modo que regresa al pivote (es decir, choca con el pivote):
El caso más simple de órbitas de colisión son las que tienen una relación de masa de 3, que siempre volverán simétricamente al origen después de ser expulsadas del origen, y se denominaron órbitas de Tipo B en el artículo inicial de Tufillaro. [1] También se les conocía como órbitas en forma de lágrima, corazón u orejas de conejo debido a su apariencia. [3] [7] [8] [9]
Cuando la masa oscilante regresa al origen, la masa del contrapeso, debe cambiar instantáneamente de dirección, provocando una tensión infinita en la cuerda de conexión. Por lo tanto, podemos considerar que la moción se rescindirá en este momento. [1]
Delimitación
Para cualquier posición inicial, se puede demostrar que la masa oscilante está limitada por una curva que es una sección cónica . [2] El pivote es siempre un foco de esta curva límite. La ecuación de esta curva se puede derivar analizando la energía del sistema y utilizando la conservación de energía. Supongamos que se libera del reposo en y . Por tanto, la energía total del sistema es:
Sin embargo, observe que en el caso de la frontera, la velocidad de la masa oscilante es cero. [2] Por tanto, tenemos:
Para ver que es la ecuación de una sección cónica, aislamos para :
Tenga en cuenta que el numerador es una constante que depende solo de la posición inicial en este caso, ya que hemos asumido que la condición inicial está en reposo. Sin embargo, la constante de energíatambién se puede calcular para una velocidad inicial distinta de cero, y la ecuación se mantiene en todos los casos. [2] La excentricidad de la sección cónica es. Para, esta es una elipse, y el sistema está acotado y la masa oscilante siempre permanece dentro de la elipse. Para, es una parábola y para es una hipérbola; en cualquiera de estos casos, no está acotado. Comose vuelve arbitrariamente grande, la curva delimitadora se acerca a un círculo. La región encerrada por la curva se conoce como región de Hill. [2]
Extensión tridimensional reciente
En 2016 se anunció un nuevo caso integrable para el problema de la máquina de madera oscilante tridimensional (3D-SAM). [10] Al igual que la versión 2D, el problema es integrable cuando.
Referencias
- ^ a b c d e f g h i Tufillaro, Nicholas B .; Abbott, Tyler A .; Griffiths, David J. (1984). "Balanceo de la máquina de Atwood". Revista estadounidense de física . 52 (10): 895–903. Código bibliográfico : 1984AmJPh..52..895T . doi : 10.1119 / 1.13791 .
- ^ a b c d e Tufillaro, Nicholas B .; Nunes, A .; Casasayas, J. (1988). "Órbitas ilimitadas de una máquina de Atwood oscilante". Revista estadounidense de física . 56 : 1117. Código Bibliográfico : 1988AmJPh..56.1117T . doi : 10.1119 / 1.15774 .
- ^ a b c Tufillaro, Nicholas B. (1982). Sonrisas y lágrimas (Tesis). Reed College .
- ^ a b Pujol, Olivier; Pérez, JP; Simo, C .; Simon, S .; Weil, JA (2010). "Balanceo de la máquina de Atwood: resultados experimentales y numéricos, y un estudio teórico". Physica D . 239 (12): 1067–1081. arXiv : 0912.5168 . Código Bibliográfico : 2010PhyD..239.1067P . doi : 10.1016 / j.physd.2010.02.017 .
- ^ Tufillaro, Nicholas B. (1986). "Movimiento integrable de una máquina de balanceo de Atwood". Revista estadounidense de física . 54 (2): 142. Código Bibliográfico : 1986AmJPh..54..142T . doi : 10.1119 / 1.14710 .
- ^ Casasayas, J .; Nunes, A .; Tufillaro, N. (1990). "Swinging Atwood's Machine: integrabilidad y dinámica" . Journal de Physique . 51 (16): 1693-1702. doi : 10.1051 / jphys: 0199000510160169300 . ISSN 0302-0738 .
- ^ a b Tufillaro, Nicholas B. (1994). "Órbitas en forma de lágrima y corazón de una máquina de Atwoods oscilante". Revista estadounidense de física . 62 (3): 231–233. arXiv : chao-dyn / 9302006 . Código Bibliográfico : 1994AmJPh..62..231T . doi : 10.1119 / 1.17602 .
- ^ a b Tufillaro, Nicholas B. (1985). "Movimientos de una máquina de Atwood que se balancea". Journal de Physique . 46 (9): 1495-1500. doi : 10.1051 / jphys: 019850046090149500 .
- ^ a b Tufillaro, Nicholas B. (1985). "Órbitas de colisión de una máquina de Atwood oscilante" (PDF) . Journal de Physique . 46 : 2053–2056. doi : 10.1051 / jphys: 0198500460120205300 .
- ^ Elmandouh, AA (2016). "Sobre la integrabilidad del movimiento de la máquina 3D-Swinging Atwood y problemas relacionados". Physics Letters A . 380 : 989. Código Bibliográfico : 2016PhLA..380..989E . doi : 10.1016 / j.physleta.2016.01.021 .
Otras lecturas
- Almeida, MA, Moreira, IC y Santos, FC (1998) "Sobre el análisis Ziglin-Yoshida para algunas clases de sistemas hamiltonianos homogéneos", Revista Brasileña de Física Vol.28 n.4 São Paulo Dec.
- Barrera, Emmanuel Jan (2003) Dynamics of a Double-Swinging Atwood's machine , BS Thesis, Instituto Nacional de Física, Universidad de Filipinas.
- Babelon, O, M. Talon, MC Peyranere (2010), "El análisis de Kowalevski de una máquina de Atwood oscilante", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical Vol. 43 (8).
- Bruhn, B. (1987) "Caos y orden en sistemas débilmente acoplados de osciladores no lineales", Physica Scripta Vol.35 (1).
- Casasayas, J., NB Tufillaro y A. Nunes (1989) "Variedad infinita de una máquina de Atwood oscilante", European Journal of Physics Vol. 10 (10), p. 173.
- Casasayas, J, A. Nunes y NB Tufillaro (1990) "Swinging Atwood's machine: integrability and dynamics", Journal de Physique Vol.51, p1693.
- Chowdhury, A. Roy y M. Debnath (1988) "Swinging Atwood Machine. Región de resonancia lejana y cercana", Revista Internacional de Física Teórica , vol. 27 (11), págs. 1405-1410.
- Griffiths DJ y TA Abbott (1992) "Comentario sobre" "Una demostración de mecánica sorprendente", " American Journal of Physics Vol.60 (10), p951-953.
- Moreira, IC y MA Almeida (1991) "Simetrías de Noether y la máquina oscilante de Atwood", Journal of Physics II France 1, p711-715.
- Nunes, A., J. Casasayas y NB Tufillaro (1995) "Órbitas periódicas de la máquina de Atwood oscilante integrable", American Journal of Physics Vol.63 (2), p121-126.
- Ouazzani-TH, A. y Ouzzani-Jamil, M., (1995) "Bifurcaciones de Liouville tori de un caso integrable de balanceo de la máquina de Atwood", Il Nuovo Cimento B vol. 110 (9).
- Olivier, Pujol, JP Pérez, JP Ramis, C. Simo, S. Simon, JA Weil (2010), "Balanceo de la máquina de Atwood: resultados experimentales y numéricos y un estudio teórico", Physica D 239, pp. 1067-1081.
- Sears, R. (1995) "Comentario sobre" Una demostración de mecánica sorprendente ", American Journal of Physics , Vol. 63 (9), p854-855.
- Yehia, HM, (2006) "Sobre la integrabilidad del movimiento de una partícula pesada en un cono inclinado y la máquina oscilante de Atwood", Mechanics Research Communications Vol. 33 (5), págs. 711–716.
enlaces externos
- Ejemplo de uso en investigación de pregrado: integradores simplécticos
- Curso de Imperial College
- Oscilaciones en la máquina de Atwood
- "Sonrisas y lágrimas" (1982)
- Taller 2007
- 2010 Videos de una máquina experimental de balanceo de Atwood
- Actualización sobre la máquina oscilante de Atwood en la reunión de APS 2010, 8:24 a.m., viernes 19 de marzo de 2010, Portland, OR
- Aplicación web interactiva de Swinging Atwood's Machine
- Código Java de fuente abierta para ejecutar Swinging Atwood's Machine