La máquina de Atwood (o la máquina de Atwood ) fue inventada en 1784 por el matemático inglés George Atwood como un experimento de laboratorio para verificar las leyes mecánicas del movimiento con aceleración constante . La máquina de Atwood es una demostración común en el aula que se utiliza para ilustrar los principios de la mecánica clásica .
La máquina ideal de Atwood consta de dos objetos de masa m 1 y m 2 , conectados por una cuerda inextensible sin masa sobre una polea ideal sin masa . [1]
Ambas masas experimentan una aceleración uniforme. Cuando m 1 = m 2 , la máquina está en equilibrio neutro independientemente de la posición de los pesos.
Ecuación para aceleración constante
Se puede derivar una ecuación para la aceleración analizando fuerzas. Suponiendo una cuerda inextensible y sin masa y una polea sin masa ideal, las únicas fuerzas a considerar son: la fuerza de tensión ( T ) y el peso de las dos masas ( W 1 y W 2 ). Para encontrar una aceleración, considere las fuerzas que afectan a cada masa individual. Usando la segunda ley de Newton (con una convención de signos de) derivar un sistema de ecuaciones para la aceleración ( a ).
Como convención de signos, suponga que a es positivo cuando está hacia abajo para y hacia arriba para . Peso de y es simple y respectivamente.
Fuerzas que afectan a m 1 :
Fuerzas que afectan a m 2 :
y sumando las dos ecuaciones anteriores se obtiene
,
y la fórmula final para la aceleración
La máquina de Atwood se utiliza a veces para ilustrar el método lagrangiano de derivar ecuaciones de movimiento. [2]
Ecuación de tensión
Puede resultar útil conocer una ecuación para la tensión en la cuerda. Para evaluar la tensión, sustituya la ecuación por la aceleración en cualquiera de las 2 ecuaciones de fuerza.
Por ejemplo, sustituyendo en , da como resultado
Ecuaciones para una polea con inercia y fricción.
Para diferencias de masa muy pequeñas entre m 1 y m 2 , la inercia rotacional I de la polea de radio r no puede despreciarse. La aceleración angular de la polea viene dada por la condición de no deslizamiento:
dónde es la aceleración angular. El par neto es entonces:
Combinando con la segunda ley de Newton para las masas colgantes y despejando T 1 , T 2 y a , obtenemos:
Aceleración:
Tensión en el segmento de cuerda más cercano a m 1 :
Tensión en el segmento de cuerda más cercano a m 2 :
Si la fricción del rodamiento es insignificante (pero no la inercia de la polea y no la tracción de la cuerda en el borde de la polea), estas ecuaciones se simplifican como los siguientes resultados:
Aceleración:
Tensión en el segmento de cuerda más cercano a m 1 :
Tensión en el segmento de cuerda más cercano a m 2 :
Implementaciones prácticas
Las ilustraciones originales de Atwood muestran el eje de la polea principal descansando sobre las llantas de otras cuatro ruedas, para minimizar las fuerzas de fricción de los cojinetes . Muchas implementaciones históricas de la máquina siguen este diseño.
Un ascensor con un contrapeso se aproxima a una máquina Atwood ideal y, por lo tanto, alivia el motor impulsor de la carga de sujetar la cabina del ascensor; solo tiene que superar la diferencia de peso y la inercia de las dos masas. El mismo principio se utiliza para los funiculares con dos vagones conectados en vías inclinadas y para los ascensores de la Torre Eiffel que se contrarrestan entre sí. Los remontes son otro ejemplo, donde las góndolas se mueven sobre un sistema de poleas cerrado (continuo) hacia arriba y hacia abajo de la montaña. El telesquí es similar al elevador de contrapeso, pero con una fuerza de restricción proporcionada por el cable en la dimensión vertical, logrando así trabajo tanto en la dimensión horizontal como en la vertical. Los elevadores de botes son otro tipo de sistema de elevadores con contrapeso que se asemeja a una máquina Atwood.
Ver también
Notas
- ^ Tipler, Paul A. (1991). Física para científicos e ingenieros (3ª, edición ampliada). Nueva York: Worth Publishers. pag. 160 . ISBN 0-87901-432-6. Capítulo 6, ejemplo 6-13
- ^ Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Nueva Delhi: Addison-Wesley / Narosa Indian Student Edition. págs. 26-27. ISBN 81-85015-53-8. Sección 1-6, ejemplo 2