En matemáticas, los métodos de simetrización son algoritmos de transformación de un conjunto a una pelota con igual volumen y centrado en el origen. B se llama la versión simétrizada de A , usualmente denotada. Estos algoritmos se muestran al resolver el problema clásico de desigualdad isoperimétrica , que pregunta: Dadas todas las formas bidimensionales de un área determinada, cuál de ellas tiene el perímetro mínimo (para obtener más detalles, consulte Desigualdad isoperimétrica ). La respuesta conjeturada fue el disco y Steiner en 1838 demostró que esto era cierto utilizando el método de simetrización de Steiner (descrito a continuación). De esto surgieron muchos otros problemas isoperimétricos y otros algoritmos de simetrización. Por ejemplo, la conjetura de Rayleigh es que el primer valor propio del problema de Dirichlet se minimiza para la pelota (consulte la desigualdad de Rayleigh-Faber-Krahn para obtener más detalles). Otro problema es que la capacidad newtoniana de un conjunto A se minimiza por y esto fue probado por Polya y G. Szego (1951) usando simetrización circular (descrita a continuación).
Simetrización
Si es medible, entonces se denota por la versión simétrica de es decir, una pelota tal que . Denotamos porel reordenamiento decreciente simétrico de la función medible no negativa f y defínalo como, dónde es la versión simétrica del conjunto de preimágenes . Se ha demostrado que los métodos que se describen a continuación transforman a es decir, dada una secuencia de transformaciones de simetrización hay , dónde es la distancia de Hausdorff (para discusión y pruebas, ver Burchard (2009) )
Simetrización Steiner
La simetrización de Steiner fue introducida por Steiner (1838) para resolver el teorema isoperimétrico mencionado anteriormente. Dejarser un hiperplano a través del origen. Gire el espacio para que es el (es la n- ésima coordenada en) hiperplano. Para cada deja que la línea perpendicular pase ser . Luego, reemplazando cada por una línea centrada en H y con longitud obtenemos la versión Steiner simétrica.
Se denota por la simetrización de Steiner wrt para hiperplano de función medible no negativa y para fijo definirlo como
Propiedades
- Conserva la convexidad: si es convexo, entonces también es convexo.
- Es lineal: .
- Súper aditivo: .
Simetrización circular
Un método popular de simetrización en el plano es la simetrización circular de Polya. Posteriormente, se describirá su generalización a dimensiones superiores. Dejarser un dominio; luego su simetrización circular con respecto al eje real positivo se define de la siguiente manera: Sea
es decir, contienen los arcos de radio t contenidos en . Entonces esta definido
- Si es el círculo completo, entonces .
- Si la longitud es , luego .
- si .
En dimensiones superiores , su simetrización esférica wrt al eje positivo de se define de la siguiente manera: Sea es decir, contienen las tapas de radio r contenidas en . Además, para la primera coordenada sea Si . Así que como arriba
- Si es el límite completo, entonces .
- Si la superficie es , luego y dónde se escoge de modo que su superficie sea . En palabras, es una tapa simétrica alrededor del eje positivo con la misma área que la intersección .
- si .
Polarización
Dejar ser un dominio y ser un hiperplano a través del origen. Denote la reflexión a través de ese plano al semiespacio positivo como o solo cuando está claro por el contexto. Además, el reflejado a través del hiperplano H se define como . Entonces, el polarizado se denota como y definido de la siguiente manera
- Si , luego .
- Si , luego .
- Si , luego .
En palabras, simplemente se refleja en el medio espacio . Resulta que esta transformación puede aproximarse a las anteriores (en la distancia de Hausdorff ) (ver Brock y Solynin (2000) ).
Referencias
- Morgan, Frank (2009). "Simetrización" . Consultado en noviembre de 2015 . Verifique los valores de fecha en:
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( ayuda ) - Burchard, Almut (2009). "Un curso corto sobre las desigualdades de reordenamiento" (PDF) . Consultado en noviembre de 2015 . Verifique los valores de fecha en:
|accessdate=
( ayuda )
- Kojar, Tomas (2015). "Movimiento browniano y simetrización". arXiv : 1505.01868 .
- Brock, Friedemann; Solynin, Alexander (2000), "Un enfoque de la simetrización a través de la polarización", Transactions of the American Mathematical Society , 352 : 1759-1796, doi : 10.1090 / S0002-9947-99-02558-1 , MR 1695019