En matemáticas , la capacidad de un conjunto en el espacio euclidiano es una medida del "tamaño" de ese conjunto. A diferencia de, digamos, la medida de Lebesgue , que mide el volumen o la extensión física de un conjunto, la capacidad es un análogo matemático de la capacidad de un conjunto para retener carga eléctrica . Más precisamente, es la capacitancia del conjunto: la carga total que un conjunto puede contener mientras mantiene una energía potencial dada . La energía potencial se calcula con respecto a un suelo idealizado en el infinito para la capacidad armónica o newtoniana , y con respecto a una superficie para la capacidad del condensador .
Nota histórica
La noción de capacidad de un conjunto y de conjunto "capacitable" fue introducida por Gustave Choquet en 1950: para una descripción detallada, véase la referencia ( Choquet 1986 ).
Definiciones
Capacidad del condensador
Sea Σ una hipersuperficie cerrada , lisa, ( n - 1) - dimensional en el espacio euclidiano n- dimensional ℝ n , n ≥ 3; K denotará el conjunto compacto n- dimensional (es decir, cerrado y acotado ) del cual Σ es el límite . Sea S otra hipersuperficie ( n - 1) -dimensional que encierra Σ: en referencia a sus orígenes en el electromagnetismo , el par (Σ, S ) se conoce como condensador . La capacidad del condensador de Σ en relación con S , denotada C (Σ, S ) o cap (Σ, S ), está dada por la integral de superficie
dónde:
- u es la función armónica única definida en la región D entre Σ y S con las condiciones de contorno u ( x ) = 1 en Σ y u ( x ) = 0 en S ;
- S 'es cualquier superficie intermedia entre Σ y S ;
- ν es el campo normal unitario externo a S ′ y
- es la derivada normal de u a través de S ′; y
- σ n = 2 π n ⁄2 ⁄ Γ ( n ⁄ 2) es el área de la superficie de la esfera unitaria en ℝ n .
C (Σ, S ) se puede definir de manera equivalente por la integral de volumen
La capacidad del condensador también tiene una caracterización variacional : C (Σ, S ) es el mínimo de la energía funcional de Dirichlet
sobre todo funciones continuamente diferenciables v en D con v ( x ) = 1 en Σ y v ( x ) = 0 en S .
Capacidad armónica / newtoniana
Heurísticamente , la capacidad armónica de K , la región limitada por Σ, se puede encontrar tomando la capacidad del condensador de Σ con respecto al infinito. Más precisamente, sea u la función armónica en el complemento de K que satisface u = 1 en Σ y u ( x ) → 0 cuando x → ∞. Por tanto, u es el potencial newtoniano de la capa simple Σ. Entonces, la capacidad armónica (también conocida como la capacidad newtoniana ) de K , denotada C ( K ) o cap ( K ), se define por
Si S es una hipersuperficie rectificable que encierra completamente a K , entonces la capacidad armónica se puede reescribir de manera equivalente como la integral sobre S de la derivada normal hacia afuera de u :
La capacidad armónica también puede entenderse como un límite de la capacidad del condensador. A saber, sea S r la esfera de radio r alrededor del origen en ℝ n . Como K está acotado, para r suficientemente grande , S r encerrará a K y (Σ, S r ) formará un par de condensadores. La capacidad armónica es entonces el límite ya que r tiende a infinito:
La capacidad armónica es una versión matemáticamente abstracta de la capacidad electrostática del conductor K y siempre es no negativa y finita: 0 ≤ C ( K ) <+ ∞.
Generalizaciones
La caracterización de la capacidad de un conjunto como el mínimo de una energía funcional que alcanza valores límite particulares, dada anteriormente, puede extenderse a otras energías funcionales en el cálculo de variaciones .
Divergencia de operadores elípticos
Soluciones a una ecuación diferencial parcial uniformemente elíptica con forma de divergencia
son minimizadores de la energía asociada funcional
sujeto a las condiciones de contorno adecuadas.
La capacidad de un conjunto E con respecto a un dominio D que contiene E se define como el mínimo de la energía sobre todas las funciones continuamente diferenciables v en D con v ( x ) = 1 en E ; y v ( x ) = 0 en el límite de D .
La energía mínima se consigue mediante una función conocida como el potencial capacitary de E con respecto a D , y se resuelve el problema de obstáculos en D con la función obstáculo proporcionada por la función indicadora de E . El potencial capacitivo se caracteriza alternativamente como la única solución de la ecuación con las condiciones de contorno adecuadas.
Ver también
- Capacidad analítica
- Capacidad
- Potencial newtoniano
- Teoría potencial
Referencias
- Brélot, Marcel (1967) [1960], Conferencias sobre teoría potencial (Notas de KN Gowrisankaran y MK Venkatesha Murthy.) (PDF) , Instituto Tata de Conferencias de Investigación Fundamental en Matemáticas y Física. Matemáticas., No. 19 (2a ed.), Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental, págs. Ii + 170 + iv, MR 0259146 , Zbl 0257.31001. La segunda edición de estas notas de clase, revisada y ampliada con la ayuda de S. Ramaswamy, se volvió a componer, se revisó una vez y se puede descargar gratuitamente.
- Choquet, Gustave (1986), "La naissance de la théorie des capacités: réflexion sur une expérience personle" , Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série générale, La Vie des sciences (en francés), 3 (4): 385–397, MR 0867115 , Zbl 0607.01017, disponible en Gallica . Un relato histórico del desarrollo de la teoría de la capacidad por su fundador y uno de los principales contribuyentes; una traducción al inglés del título dice: "El nacimiento de la teoría de la capacidad: reflexiones sobre una experiencia personal".
- Doob, Joseph Leo (1984), Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 262 , Berlín– Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag, pp. Xxiv + 846 , ISBN 0-387-90881-1, MR 0731258 , Zbl 0.549,31001
- Littman, W .; Stampacchia, G .; Weinberger, H. (1963), "Puntos regulares para ecuaciones elípticas con coeficientes discontinuos" , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze , Serie III, 17 (12): 43–77, MR 0161019 , Zbl 0116.30302, disponible en NUMDAM .
- Ransford, Thomas (1995), Teoría potencial en el plano complejo , Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres, 28 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7, Zbl 0828.31001
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Capacidad de un conjunto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press