La sincronización del caos es un fenómeno que puede ocurrir cuando se acoplan dos o más sistemas caóticos disipativos .
Debido a la divergencia exponencial de las trayectorias cercanas de los sistemas caóticos, tener dos sistemas caóticos evolucionando en sincronía puede parecer sorprendente. Sin embargo, la sincronización de osciladores caóticos acoplados o controlados es un fenómeno bien establecido experimentalmente y razonablemente bien entendido teóricamente.
La estabilidad de la sincronización para sistemas acoplados se puede analizar utilizando la estabilidad maestra . La sincronización del caos es un fenómeno rico y un tema multidisciplinario con una amplia gama de aplicaciones. [1] [2] [3]
La sincronización puede presentar una variedad de formas dependiendo de la naturaleza de los sistemas que interactúan y el tipo de acoplamiento, y la proximidad entre los sistemas.
Sincronización idéntica
Este tipo de sincronización también se conoce como sincronización completa. Se puede observar para sistemas caóticos idénticos. Se dice que los sistemas están completamente sincronizados cuando existe un conjunto de condiciones iniciales, de modo que los sistemas eventualmente evolucionan de manera idéntica en el tiempo. En el caso más simple de dos dinámicas acopladas difusivamente se describe por
dónde es el campo vectorial que modela la dinámica caótica aislada y es el parámetro de acoplamiento. El régimen define un subespacio invariante del sistema acoplado, si este subespacio es localmente atractivo, entonces el sistema acoplado presenta una sincronización idéntica.
Si el acoplamiento desaparece, los osciladores se desacoplan y el comportamiento caótico conduce a una divergencia de trayectorias cercanas. La sincronización completa ocurre debido a la interacción, si el parámetro de acoplamiento es lo suficientemente grande como para que la divergencia de las trayectorias de los sistemas que interactúan debido al caos sea suprimida por el acoplamiento difusivo. Para encontrar la fuerza de acoplamiento crítica, estudiamos el comportamiento de la diferencia. Asumiendo que es pequeño, podemos expandir el campo vectorial en serie y obtener una ecuación diferencial lineal, despreciando el resto de Taylor, que rige el comportamiento de la diferencia
dónde denota el jacobiano del campo vectorial a lo largo de la solución. Si entonces obtenemos
y dado que la dinámica del caótico tenemos , dónde denota el máximo exponente de Lyapunov del sistema aislado. Ahora usando el ansatz pasamos de la ecuación para a la ecuación para . Por tanto, obtenemos
producir una fuerza de acoplamiento crítica , para todos el sistema exhibe una sincronización completa. La existencia de una fuerza de acoplamiento crítica está relacionada con la naturaleza caótica de la dinámica aislada.
En general, este razonamiento conduce al valor de acoplamiento crítico correcto para la sincronización. Sin embargo, en algunos casos se puede observar una pérdida de sincronización para fuerzas de acoplamiento mayores que el valor crítico. Esto ocurre porque los términos no lineales ignorados en la derivación del valor de acoplamiento crítico pueden jugar un papel importante y destruir el límite exponencial del comportamiento de la diferencia. [4] Sin embargo, es posible dar un tratamiento riguroso a este problema y obtener un valor crítico para que las no linealidades no afecten la estabilidad. [5]
Sincronización generalizada
Este tipo de sincronización ocurre principalmente cuando los osciladores caóticos acoplados son diferentes, aunque también se ha informado entre osciladores idénticos. Dadas las variables dinámicas (x 1 , x 2 , ..., x n ) y (y 1 , y 2 , ..., y m ) que determinan el estado de los osciladores, la sincronización generalizada ocurre cuando hay un funcional, Φ, tal que, después de una evolución transitoria desde las condiciones iniciales apropiadas, es [y 1 (t), y 2 (t), ..., y m (t)] = Φ [x 1 (t), x 2 (t), ..., x n (t)]. Esto significa que el estado dinámico de uno de los osciladores está completamente determinado por el estado del otro. Cuando los osciladores están acoplados entre sí, esta función tiene que ser invertible, si hay una configuración de respuesta del variador, el variador determina la evolución de la respuesta y Φ no necesita ser invertible. La sincronización idéntica es el caso particular de la sincronización generalizada cuando Φ es la identidad.
Sincronización de fase
La sincronización de fase ocurre cuando los osciladores caóticos acoplados mantienen su diferencia de fase limitada mientras sus amplitudes permanecen sin correlación. Este fenómeno ocurre incluso si los osciladores no son idénticos. La observación de la sincronización de fase requiere una definición previa de la fase de un oscilador caótico. En muchos casos prácticos, es posible encontrar un plano en el espacio de fase en el que la proyección de las trayectorias del oscilador sigue una rotación alrededor de un centro bien definido. Si este es el caso, la fase se define por el ángulo, φ (t), descrito por el segmento que une el centro de rotación y la proyección del punto de trayectoria sobre el plano. En otros casos, todavía es posible definir una fase mediante técnicas proporcionadas por la teoría del procesamiento de señales , como la transformada de Hilbert . En cualquier caso, si φ 1 (t) y φ 2 (t) denotan las fases de los dos osciladores acoplados, la sincronización de la fase está dada por la relación nφ 1 (t) = mφ 2 (t) con myn enteros números.
Sincronización anticipada y retardada
En estos casos, el estado sincronizado se caracteriza por un intervalo de tiempo τ tal que las variables dinámicas de los osciladores, (x 1 , x 2 , ..., x n ) y (x ' 1 , x' 2 , ... , x ' n ), están relacionados por x' i (t) = x i (t + τ); esto significa que la dinámica de uno de los osciladores sigue, o anticipa, la dinámica del otro. La sincronización anticipada puede ocurrir entre osciladores caóticos cuya dinámica se describe mediante ecuaciones diferenciales de retardo , acopladas en una configuración de respuesta de impulso. En este caso, la respuesta anticipa la dinámica del impulso. La sincronización de retardo puede ocurrir cuando se aumenta la fuerza del acoplamiento entre osciladores sincronizados en fase.
Sincronización de envolvente de amplitud
Esta es una forma leve de sincronización que puede aparecer entre dos osciladores caóticos débilmente acoplados. En este caso, no existe correlación entre fases ni amplitudes; en cambio, las oscilaciones de los dos sistemas desarrollan una envolvente periódica que tiene la misma frecuencia en los dos sistemas.
Esto tiene el mismo orden de magnitud que la diferencia entre las frecuencias medias de oscilación de los dos osciladores caóticos. A menudo, la sincronización de la envolvente de amplitud precede a la sincronización de fase en el sentido de que cuando aumenta la fuerza del acoplamiento entre dos osciladores sincronizados de la envolvente de amplitud, se desarrolla la sincronización de fase.
Todas estas formas de sincronización comparten la propiedad de estabilidad asintótica. Esto significa que una vez que se ha alcanzado el estado sincronizado, el efecto de una pequeña perturbación que destruye la sincronización se amortigua rápidamente y la sincronización se recupera nuevamente. Matemáticamente, la estabilidad asintótica se caracteriza por un exponente de Lyapunov positivo del sistema compuesto por los dos osciladores, que se vuelve negativo cuando se logra una sincronización caótica.
Algunos sistemas caóticos permiten un control aún más fuerte del caos , y tanto la sincronización del caos como el control del caos constituyen partes de lo que se conoce como " física cibernética ".
Notas
- ^ Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (1 de diciembre de 2008). "Sincronización en redes complejas". Informes de física . 469 (3): 93-153. arXiv : 0805.2976 . Código Bibliográfico : 2008PhR ... 469 ... 93A . doi : 10.1016 / j.physrep.2008.09.002 .
- ^ Wu, Chai Wah (2007). Sincronización en redes complejas de sistemas dinámicos no lineales . doi : 10.1142 / 6570 . ISBN 978-981-270-973-8.
- ^ Eroglu, Deniz; Cordero, Jeroen SW; Pereira, Tiago (2017). "Sincronización del caos y sus aplicaciones" . Física contemporánea . 58 (3): 207–243. doi : 10.1080 / 00107514.2017.1345844 . hdl : 10044/1/53479 . ISSN 0010-7514 .
- ^ Ashwin, Peter (9 de agosto de 2006). "Transición burbujeante" . Scholarpedia . 1 (8): 1725. Bibcode : 2006SchpJ ... 1.1725A . doi : 10.4249 / scholarpedia.1725 . ISSN 1941-6016 .
- ^ Tiago Pereira, estabilidad del movimiento sincronizado en redes complejas , arXiv: 1112.2297v1, 2011.
Referencias
- Pikovsky, A .; Rosemblum, M .; Kurths, J. (2001). Sincronización: un concepto universal en ciencias no lineales . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-53352-2.
- González-Miranda, JM (2004). Sincronización y control del caos. Una introducción para científicos e ingenieros . Prensa del Imperial College . ISBN 978-1-86094-488-8.
- Fradkov AL Física cibernética: del control del caos al control cuántico. Springer-Verlag, 2007, (Versión preliminar en ruso: San Petersburgo, Nauka, 2003) .