Modelo de Kuramoto

El modelo Kuramoto (o modelo Kuramoto-Daido ), propuesto por primera vez por Yoshiki Kuramoto (蔵本由紀, Kuramoto Yoshiki ) , ^[1]^[2] es un modelo matemático utilizado para describir la sincronización . Más específicamente, es un modelo para el comportamiento de un gran conjunto de osciladores acoplados . ^[3]^[4] Su formulación fue motivada por el comportamiento de sistemas de osciladores químicos y biológicos , y ha encontrado aplicaciones muy extendidas como en neurociencia ^[5]^[6]^[7]^[8] y dinámica de llama oscilante. ^[9]^[10] Kuramoto se sorprendió bastante cuando el comportamiento de algunos sistemas físicos, a saber, matrices acopladas de uniones Josephson , siguió su modelo. ^[11]

El modelo hace varias suposiciones, incluyendo que hay un acoplamiento débil, que los osciladores son idénticos o casi idénticos y que las interacciones dependen sinusoidalmente de la diferencia de fase entre cada par de objetos.

Definición

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Bloqueo de fase en el modelo Kuramoto

En la versión más popular del modelo Kuramoto, se considera que cada uno de los osciladores tiene su propia frecuencia natural intrínseca. ${\ Displaystyle \ omega _ {i}}$ , y cada uno está acoplado por igual a todos los demás osciladores. Sorprendentemente, este modelo completamente no lineal se puede resolver exactamente en el límite de osciladores infinitos, N → ∞; ^[12] alternativamente, utilizando argumentos de autoconsistencia, se pueden obtener soluciones de estado estacionario del parámetro de orden. ^[13]

La forma más popular del modelo tiene las siguientes ecuaciones de gobierno:

{\ Displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i} + {\ frac {K} {N}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ pecado (\ theta _ {j} - \ theta _ {i}), \ qquad i = 1 \ ldots N}

,

donde el sistema está compuesto por N osciladores de ciclo límite, con fases ${\ Displaystyle \ theta _ {i}}$ y constante de acoplamiento K .

Se puede agregar ruido al sistema. En ese caso, la ecuación original se modifica a:

{\ Displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i} + \ zeta _ {i} + {\ dfrac {K} {N}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sin (\ theta _ {j} - \ theta _ {i})}

,

dónde ${\ Displaystyle \ zeta _ {i}}$ es la fluctuación y una función del tiempo. Si consideramos que el ruido es ruido blanco, entonces:

{\ Displaystyle \ langle \ zeta _ {i} (t) \ rangle = 0}

,

{\ Displaystyle \ langle \ zeta _ {i} (t) \ zeta _ {j} (t ') \ rangle = 2D \ delta _ {ij} \ delta (t-t')}

con ${\ Displaystyle D}$ que denota la fuerza del ruido.

Transformación

La transformación que permite resolver este modelo de forma exacta (al menos en el límite N → ∞) es la siguiente:

Defina los parámetros de "orden" r y ψ como

{\ Displaystyle re ^ {i \ psi} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} e ^ {i \ theta _ {j}}}

.

Aquí r representa la coherencia de fase de la población de osciladores y ψ indica la fase promedio. Multiplicando esta ecuación con ${\ Displaystyle e ^ {- i \ theta _ {i}}}$ y solo considerando la parte imaginaria da:

{\ Displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i} + Kr \ sin (\ psi - \ theta _ {i})}

.

Por tanto, las ecuaciones de los osciladores ya no están acopladas explícitamente; en cambio, los parámetros de orden gobiernan el comportamiento. Por lo general, se realiza una transformación adicional, a un marco giratorio en el que el promedio estadístico de fases sobre todos los osciladores es cero (es decir, ${\ Displaystyle \ psi = 0}$ ). Finalmente, la ecuación gobernante se convierte en:

{\ Displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i} -Kr \ sin (\ theta _ {i})}

.

Límite de N grande

Ahora considere el caso como N tiende a infinito. Tome la distribución de frecuencias naturales intrínsecas como g ( ω ) (se supone normalizada ). Luego suponga que la densidad de osciladores en una fase dada θ , con una frecuencia natural dada ω , en el tiempo t es ${\ Displaystyle \ rho (\ theta, \ omega, t)}$ . La normalización requiere que

{\ Displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ rho (\ theta, \ omega, t) \, d \ theta = 1.}

La ecuación de continuidad para la densidad del oscilador será

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} [\ rho v] = 0,}

donde v es la velocidad de deriva de los osciladores dada al tomar el límite infinito- N en la ecuación gobernante transformada, tal que

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} [\ rho \ omega + \ rho Kr \ sin (\ psi - \ theta )] = 0.}

Finalmente, debemos reescribir la definición de los parámetros de orden para el límite continuo ( N infinito ). ${\ Displaystyle \ theta _ {i}}$ debe ser reemplazado por su promedio de conjunto (sobre todo ${\ Displaystyle \ omega}$ ) y la suma debe ser reemplazada por una integral, para dar

{\ Displaystyle re ^ {i \ psi} = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i \ theta} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ rho (\ theta, \ omega, t) g (\ omega) \, d \ omega \, d \ theta.}

Soluciones

El estado incoherente con todos los osciladores a la deriva aleatoriamente corresponde a la solución ${\ Displaystyle \ rho = 1 / (2 \ pi)}$ . En ese caso ${\ Displaystyle r = 0}$ , y no hay coherencia entre los osciladores. Se distribuyen uniformemente en todas las fases posibles y la población se encuentra en un estado estable estadístico (aunque los osciladores individuales continúan cambiando de fase de acuerdo con su ω intrínseco ).

Cuando el acoplamiento K es suficientemente fuerte, es posible una solución totalmente sincronizada. En el estado completamente sincronizado, todos los osciladores comparten una frecuencia común, aunque sus fases pueden ser diferentes.

Una solución para el caso de la sincronización parcial produce un estado en el que sólo se sincronizan algunos osciladores (los que están cerca de la frecuencia natural media del conjunto); otros osciladores se desvían incoherentemente. Matemáticamente, el estado ha

{\ Displaystyle \ rho = \ delta \ left (\ theta - \ psi - \ arcsin \ left ({\ frac {\ omega} {Kr}} \ right) \ right)}

para osciladores bloqueados, y

{\ Displaystyle \ rho = {\ frac {\ rm {normalización \; constante}} {(\ omega -Kr \ sin (\ theta - \ psi))}}}

para osciladores a la deriva. El corte ocurre cuando ${\ Displaystyle | \ omega | }>$ .

Conexión a sistemas hamiltonianos

El modelo disipativo de Kuramoto está contenido ^[14] en ciertos sistemas hamiltonianos conservadores con hamiltoniano de la forma:

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (q_ {1}, \ ldots, q_ {N}, p_ {1}, \ ldots, p_ {N}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ omega _ {i}} {2}} (q_ {i} ^ {2} + p_ {i} ^ {2}) + {\ frac {K} {4N}} \ sum _ {i , j = 1} ^ {N} (q_ {i} p_ {j} -q_ {j} p_ {i}) (q_ {j} ^ {2} + p_ {j} ^ {2} -q_ {i } ^ {2} -p_ {i} ^ {2})}

Después de una transformación canónica a variables de ángulo de acción con acciones ${\ Displaystyle I_ {i} = \ left (q_ {i} ^ {2} + p_ {i} ^ {2} \ right) / 2}$ y ángulos (fases) ${\ Displaystyle \ phi _ {i} = \ mathrm {arctan2} \ left (q_ {i} / p_ {i} \ right)}$ , la dinámica exacta de Kuramoto emerge en múltiples invariantes de constante ${\ Displaystyle I_ {i} \ equiv I}$ . Con el hamiltoniano transformado:

{\ Displaystyle {\ mathcal {H '}} (I_ {1}, \ ldots I_ {N}, \ phi _ {1} \ ldots, \ phi _ {N}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ omega _ {i} I_ {i} - {\ frac {K} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ sqrt {I_ {j} I_ {i}}} (I_ {j} -I_ {i}) \ sin (\ phi _ {j} - \ phi _ {i}),}

La ecuación de movimiento de Hamilton se convierte en:

{\ Displaystyle {\ frac {dI_ {i}} {dt}} = - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}} '} {\ parcial \ phi _ {i}}} = - {\ frac { 2K} {N}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ sqrt {I_ {k} I_ {i}}} (I_ {k} -I_ {i}) \ cos (\ phi _ { k} - \ phi _ {i})}

y

{\ Displaystyle {\ frac {d \ phi _ {i}} {dt}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}} '} {\ parcial I_ {i}}} = \ omega _ {i } + {\ frac {K} {N}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left [2 {\ sqrt {I_ {i} I_ {k}}} \ sin (\ phi _ {k } - \ phi _ {i}) \ right. \ left. + {\ sqrt {I_ {k} / I_ {i}}} (I_ {k} -I_ {i}) \ sin (\ phi _ {k } - \ phi _ {i}) \ right].}

Entonces el colector con ${\ Displaystyle I_ {j} = I}$ es invariante porque ${\ Displaystyle {\ frac {dI_ {i}} {dt}} = 0}$ y la dinámica de fase ${\ Displaystyle {\ frac {d \ phi _ {i}} {dt}}}$ se convierte en la dinámica del modelo de Kuramoto (con las mismas constantes de acoplamiento para ${\ Displaystyle I = 1/2}$ ). La clase de sistemas hamiltonianos caracteriza ciertos sistemas cuánticos clásicos, incluidos los condensados de Bose-Einstein .

Variaciones de los modelos

Patrones de sincronización distintos en una matriz bidimensional de osciladores tipo Kuramoto con diferentes funciones de interacción de fase y topologías de acoplamiento espacial. (A) Molinetes. (B) Ondas. (C) Quimeras. (D) Quimeras y ondas combinadas. La escala de colores indica la fase del oscilador.

Hay varios tipos de variaciones que se pueden aplicar al modelo original presentado anteriormente. Algunos modelos cambian a la estructura topológica, otros permiten pesos heterogéneos y otros cambios están más relacionados con modelos que están inspirados en el modelo de Kuramoto pero que no tienen la misma forma funcional.

Variaciones de la topología de la red

Además del modelo original, que tiene una topología integral, una topología similar a una red compleja suficientemente densa es susceptible al tratamiento de campo medio utilizado en la solución del modelo original ^[15] (ver Transformación y límite de N grande arriba para más información). Las topologías de red, como anillos y poblaciones acopladas, admiten estados de quimera. ^[16] También se puede preguntar por el comportamiento de modelos en los que existen topologías intrínsecamente locales, como topologías unidimensionales en las que la cadena y el anillo son ejemplos prototípicos. En tales topologías, en las que el acoplamiento no es escalable según 1 / N , no es posible aplicar el enfoque canónico de campo medio, por lo que se debe confiar en el análisis caso por caso, haciendo uso de simetrías siempre que sea posible. , que puede servir de base para la abstracción de los principios generales de las soluciones.

Se pueden observar fácilmente sincronías, ondas y espirales uniformes en redes Kuramoto bidimensionales con acoplamiento local difusivo. La estabilidad de las ondas en estos modelos se puede determinar analíticamente utilizando los métodos de análisis de estabilidad de Turing. ^{[17] La} sincronía uniforme tiende a ser estable cuando el acoplamiento local es positivo en todas partes, mientras que las ondas surgen cuando las conexiones de largo alcance son negativas (acoplamiento envolvente inhibitorio). Las ondas y la sincronía están conectadas por una rama de soluciones topológicamente distinta conocida como ondulación. ^[18] Se trata de desviaciones periódicas espaciales de baja amplitud que surgen del estado uniforme (o estado de onda) a través de una bifurcación de Hopf . ^[19] La existencia de soluciones de ondulación fue predicha (pero no observada) por Wiley, Strogatz y Girvan , ^[20] quienes las llamaron estados q multitorsión.

La topología en la que se estudia el modelo de Kuramoto se puede adaptar ^[21] mediante el uso de un modelo de aptitud que muestra la mejora de la sincronización y la filtración de una manera autoorganizada.

Variaciones de la topología de la red y los pesos de la red: desde la coordinación del vehículo hasta la sincronización cerebral

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Los metrónomos , inicialmente desfasados, se sincronizan mediante pequeños movimientos de la base sobre la que están colocados. Se ha demostrado que este sistema es equivalente al modelo de Kuramoto. ^[22]

[1]

Modelo de Kuramoto

Definición

Transformación

Límite de N grande

Soluciones

Conexión a sistemas hamiltonianos

Variaciones de los modelos

Variaciones de la topología de la red

Variaciones de la topología de la red y los pesos de la red: desde la coordinación del vehículo hasta la sincronización cerebral

Variaciones de la función de interacción de fase

Disponibilidad

Ver también

Referencias