En teoría de números , la conjetura de Szpiro relaciona el conductor y el discriminante de una curva elíptica . En una forma ligeramente modificada, es equivalente a la conocida conjetura abc . Lleva el nombre de Lucien Szpiro, quien lo formuló en la década de 1980. La conjetura de Szpiro y sus formas equivalentes han sido descritas como "el problema sin resolver más importante en el análisis diofantino " por Dorian Goldfeld , [1] en parte por su gran número de consecuencias en la teoría de números, incluido el teorema de Roth , la conjetura de Mordell , el Fermat-catalán conjeturay el problema de Brocard . [2] [3] [4] [5]
La conjetura establece que: dado ε> 0, existe una constante C (ε) tal que para cualquier curva elíptica E definida sobre Q con discriminante mínimo Δ y conductor f , tenemos
La conjetura de Szpiro modificada establece que: dado ε> 0, existe una constante C (ε) tal que para cualquier curva elíptica E definida sobre Q con invariantes c 4 , c 6 y conductor f (usando la notación del algoritmo de Tate ), tenemos
La conjetura abc se originó como resultado de los intentos de Joseph Oesterlé y David Masser de comprender la conjetura de Szpiro, [6] y luego se demostró que era equivalente a la conjetura de Szpiro modificada. [7]
En agosto de 2012, Shinichi Mochizuki reclamó una prueba de la conjetura de Szpiro al desarrollar una nueva teoría llamada teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT). [8] Sin embargo, la comunidad matemática no ha aceptado los artículos como prueba de la conjetura, [9] [10] [11] y Peter Scholze y Jakob Stix concluyeron en marzo de 2018 que la brecha era "tan severa que … Pequeñas modificaciones no rescatarán la estrategia de prueba ". [12] [13] [14]