Tame clase elemental abstracta

En la teoría de modelos , una disciplina dentro del campo de la lógica matemática , una clase elemental abstracta mansa es una clase elemental abstracta (AEC) que satisface una propiedad de localidad para los tipos llamada mansedumbre. Aunque aparece implícitamente en trabajos anteriores de Shelah , la docilidad como propiedad de AEC fue aislada por primera vez por Grossberg y VanDieren, ^[1] quienes observaron que los AEC domesticados eran mucho más fáciles de manejar que los AEC generales.

Sea K un AEC con incrustación conjunta, fusión y sin modelos máximos. Al igual que en la teoría de modelos de primer orden, esto implica que K tiene un modelo monstruo homogéneo de modelo universal . Trabajando dentro de , podemos definir una noción semántica de tipos especificando que dos elementos a y b tienen el mismo tipo sobre algún modelo base si hay un automorfismo del modelo monstruo que envía a a b fijando un punto (observe que los tipos se pueden definir en de manera similar sin usar un modelo de monstruo ^[2] ). Estos tipos se denominan tipos de Galois . ${\mathfrak{C}}$ ${\mathfrak{C}}$ ${\ estilo de visualización M}$ ${\ estilo de visualización M}$ .

Uno puede pedir que dichos tipos estén determinados por su restricción en un dominio pequeño. Esto da lugar a la noción de mansedumbre:

Si bien (sin la existencia de cardenales grandes ) hay ejemplos de AEC no domesticados, ^[3] la mayoría de los ejemplos naturales conocidos son domesticados. ^[4] Además, se conocen las siguientes condiciones suficientes para que una clase sea mansa:

Muchos resultados en la teoría del modelo de AEC (general) asumen formas débiles de la hipótesis del continuo generalizado y se basan en argumentos sofisticados de teoría de conjuntos combinatorios. ^[8] Por otro lado, la teoría del modelo de las AEC domesticadas es mucho más fácil de desarrollar, como lo demuestran los resultados que se presentan a continuación.