A Pitágoras cuádruple es una tupla de números enteros a , b , c , y d , tal que un 2 + b 2 + c 2 = d 2 . Son soluciones de una ecuación diofántica y, a menudo, solo se consideran valores enteros positivos. [1] Sin embargo, para proporcionar una interpretación geométrica más completa, se puede permitir que los valores enteros sean negativos y cero (lo que permite incluir las triples pitagóricas ) con la única condición de que d > 0. En este escenario, un cuádruple pitagórico ( a , b , c , d ) define un cuboide con longitudes de lados enteros | a | , | b | y | c | , cuya diagonal de espacio tiene una longitud entera d ; con esta interpretación, los cuádruples pitagóricos también se denominan cajas pitagóricas . [2] En este artículo asumiremos, a menos que se indique lo contrario, que los valores de un cuádruple pitagórico son todos números enteros positivos.
Parametrización de cuádruples primitivos
Un cuádruple pitagórico se llama primitivo si el máximo común divisor de sus entradas es 1. Cada cuádruple pitagórico es un múltiplo entero de un cuádruple primitivo. El conjunto de cuádruples pitagóricos primitivos para los que a es impar se puede generar mediante las fórmulas
donde m , n , p , q son números enteros no negativos con el máximo común divisor 1 tal que m + n + p + q es impar. [3] [4] [1] Por lo tanto, todos los cuádruples pitagóricos primitivos se caracterizan por la identidad de Lebesgue [ aclaración necesaria ]
Parametrización alternativa
Todos cuádruples pitagóricos (incluyendo los no primitivas, y con repetición, aunque una , b , y c no aparecen en todos los órdenes posibles) se puede generar a partir de dos números enteros positivos a y b de la siguiente manera:
Si un y b tienen diferentes paridad , dejar que p sea ningún factor de un 2 + b 2 de tal manera que p 2 < un 2 + b 2 . Entonces c =a 2 + b 2 - p 2/2 py d = a 2 + b 2 + p 2/2 p. Tenga en cuenta que p = d - c .
Existe un método similar [5] para la generación de todos Pitágoras cuádruples para los que un y b son ambos incluso. Sea l = a/2y m = B/2y sea n un factor de l 2 + m 2 tal que n 2 < l 2 + m 2 . Entonces c = l 2 + m 2 - n 2/nortey d = l 2 + m 2 + n 2/norte. Este método genera todo Pitágoras cuadruplica exactamente una vez cada cuando l y m carrera a través de todos los pares de números naturales y n corre a través de todos los valores permisibles para cada par.
No existe tal método si tanto a como b son impares, en cuyo caso no existen soluciones como se puede ver en la parametrización de la sección anterior.
Propiedades
El número más grande que siempre divide el producto abcd es 12. [6] El cuádruple con el producto mínimo es (1, 2, 2, 3).
Relación con cuaterniones y matrices ortogonales racionales
Un cuádruple pitagórico primitivo ( a , b , c , d ) parametrizado por ( m , n , p , q ) corresponde a la primera columna de la representación matricial E ( α ) de la conjugación α (⋅) α por el cuaternión de Hurwitz α = m + ni + pj + qk restringido al subespacio de ℍ generado por i , j , k , que viene dado por
donde las columnas son ortogonales por pares y cada una tiene una norma d . Además, tenemos1/DE ( α ) ∈ SO (3, ℚ) y, de hecho, todas las matrices ortogonales de 3 × 3 concoeficientes racionales surgen de esta manera. [7]
Pitágoras primitivo se cuadruplica con norma pequeña
Hay 31 cuádruples pitagóricos primitivos en los que todas las entradas son menos de 30.
( | 1 | , | 2 | , | 2 | , | 3 | ) | ( | 2 | , | 10 | , | 11 | , | 15 | ) | ( | 4 | , | 13 | , | dieciséis | , | 21 | ) | ( | 2 | , | 10 | , | 25 | , | 27 | ) |
( | 2 | , | 3 | , | 6 | , | 7 | ) | ( | 1 | , | 12 | , | 12 | , | 17 | ) | ( | 8 | , | 11 | , | dieciséis | , | 21 | ) | ( | 2 | , | 14 | , | 23 | , | 27 | ) |
( | 1 | , | 4 | , | 8 | , | 9 | ) | ( | 8 | , | 9 | , | 12 | , | 17 | ) | ( | 3 | , | 6 | , | 22 | , | 23 | ) | ( | 7 | , | 14 | , | 22 | , | 27 | ) |
( | 4 | , | 4 | , | 7 | , | 9 | ) | ( | 1 | , | 6 | , | 18 | , | 19 | ) | ( | 3 | , | 14 | , | 18 | , | 23 | ) | ( | 10 | , | 10 | , | 23 | , | 27 | ) |
( | 2 | , | 6 | , | 9 | , | 11 | ) | ( | 6 | , | 6 | , | 17 | , | 19 | ) | ( | 6 | , | 13 | , | 18 | , | 23 | ) | ( | 3 | , | dieciséis | , | 24 | , | 29 | ) |
( | 6 | , | 6 | , | 7 | , | 11 | ) | ( | 6 | , | 10 | , | 15 | , | 19 | ) | ( | 9 | , | 12 | , | 20 | , | 25 | ) | ( | 11 | , | 12 | , | 24 | , | 29 | ) |
( | 3 | , | 4 | , | 12 | , | 13 | ) | ( | 4 | , | 5 | , | 20 | , | 21 | ) | ( | 12 | , | 15 | , | dieciséis | , | 25 | ) | ( | 12 | , | dieciséis | , | 21 | , | 29 | ) |
( | 2 | , | 5 | , | 14 | , | 15 | ) | ( | 4 | , | 8 | , | 19 | , | 21 | ) | ( | 2 | , | 7 | , | 26 | , | 27 | ) |
Ver también
- Conjetura de Beal
- Ladrillo Euler
- Conjetura de la suma de potencias de Euler
- Fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D
- Fermat cúbico
- Ecuación de Jacobi-Madden
- El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange (cada número natural se puede representar como la suma de cuatro cuadrados enteros)
- El teorema de los tres cuadrados de Legendre (cuyos números naturales no se pueden representar como la suma de tres cuadrados de números enteros)
- Problema de Prouhet-Tarry-Escott
- Cuaterniones y rotación espacial
- Número de taxi
Referencias
- ^ a b R. Spira, La ecuación diofántica x 2 + y 2 + z 2 = m 2 , Amer. Matemáticas. Vol. Mensual 69 (1962), núm. 5, 360–365.
- ^ RA Beauregard y ER Suryanarayan, Cajas pitagóricas , Matemáticas. Magazine 74 (2001), 222–227.
- ^ RD Carmichael, Análisis diofántico , Nueva York: John Wiley & Sons, 1915.
- ^ LE Dickson, Algunas relaciones entre la teoría de los números y otras ramas de las matemáticas , en Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Estrasburgo, Toulouse, 1921, págs. 41–56; reimpresión Nendeln / Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Obras completas 2, págs. 579–594.
- ^ Sierpiński, Wacław , Triángulos de Pitágoras , Dover, 2003 (orig. 1962), p.102-103.
- ^ MacHale, Des y van den Bosch, Christian, "Generalización de un resultado sobre triples pitagóricos", Mathematical Gazette 96, marzo de 2012, págs. 91-96.
- ^ J. Cremona, Carta al editor , Amer. Matemáticas. Monthly 94 (1987), 757–758.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cuádruple pitagórica" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Identidad de Lebesgue" . MathWorld .
- Carmichael. Análisis diofantino en el proyecto Gutenberg