En geometría , el empaquetamiento de tetraedros es el problema de disponer tetraedros regulares idénticos en todo el espacio tridimensional para llenar la máxima fracción de espacio posible.
Actualmente, el mejor límite inferior alcanzado en la fracción de empaquetamiento óptima de tetraedros regulares es 85,63%. [1] Los tetraedros no enlosan el espacio, [2] y se ha informado de un límite superior por debajo del 100% (es decir, 1 - (2,6 ...) · 10 −25 ). [3]
Resultados históricos
Aristóteles afirmó que los tetraedros podían llenar el espacio por completo. [4] [5]
En 2006, Conway y Torquato demostraron que se puede obtener una fracción de empaquetamiento de aproximadamente el 72% mediante la construcción de un empaquetamiento reticular de tetraedros que no sea de Bravais (con múltiples partículas con orientaciones generalmente diferentes por unidad repetida), y así demostraron que el mejor empaquetamiento de tetraedros no ser un empaquetamiento de celosía (con una partícula por unidad repetitiva de modo que cada partícula tenga una orientación común). [6] Estas construcciones de empaque casi duplicaron la fracción óptima de empaque de celosía de Bravais 36.73% obtenida por Hoylman. [7] En 2007 y 2010, Chaikin y sus compañeros de trabajo demostraron experimentalmente que los dados con forma de tetraedro pueden empaquetarse aleatoriamente en un recipiente finito hasta una fracción de empaque entre 75% y 76%. [8] En 2008, Chen fue el primero en proponer un empaquetamiento de tetraedros regulares y duros que empaquetaban más densamente que las esferas, demostrando numéricamente una fracción de empaquetamiento del 77,86%. [9] [10] Torquato y Jiao realizaron una mejora adicional en 2009, que comprimieron la estructura de Chen utilizando un algoritmo informático a una fracción de empaquetado del 78,2021%. [11]
A mediados de 2009, Haji-Akbari et al. demostraron, utilizando simulaciones de MC de sistemas inicialmente aleatorios, que a densidades de empaquetamiento> 50%, un fluido de equilibrio de tetraedros duros se transforma espontáneamente en un cuasicristal dodecagonal , que puede comprimirse al 83,24%. También informaron un empaquetado vítreo y desordenado en densidades superiores al 78%. Para una aproximación periódica a un cuasicristal con una celda unitaria de 82 tetraedros, obtuvieron una densidad de empaquetamiento tan alta como 85.03%. [12]
A fines de 2009, Kallus, Elser y Gravel descubrieron una nueva familia de empaques mucho más simple con una fracción de empaque del 85,47%. [13] Estos embalajes también fueron la base de un embalaje ligeramente mejorado obtenido por Torquato y Jiao a finales de 2009 con una fracción de embalaje del 85,55%, [14] y por Chen, Engel y Glotzer a principios de 2010 con una fracción de embalaje de 85,63%. [1] El resultado de Chen, Engel y Glotzer se erige actualmente como el empaquetamiento más denso conocido de tetraedros duros y regulares. Sorprendentemente, los paquetes de cuasicristal aproximado [12] son más densos que este doble entramado de bipirámides triangulares cuando los tetraedros están ligeramente redondeados (la suma de Minkowski de un tetraedro y una esfera), lo que hace que el cuasicristal de 82 tetraedros se aproxime a la celda unitaria más grande para un empaque denso partículas idénticas hasta la fecha. [15]
Relación con otros problemas de embalaje
Debido a que el primer límite inferior conocido para los empaquetamientos de tetraedros era menor que el de las esferas , se sugirió que los tetraedros regulares podrían ser un contraejemplo de la conjetura de Ulam de que la densidad óptima para empacar esferas congruentes es menor que la de cualquier otro cuerpo convexo. Sin embargo, los resultados más recientes han demostrado que este no es el caso.
Ver también
- Problema de embalaje
- Nido de abeja tetraédrico disfenoide : un empaquetamiento isoédrico de tetraedros irregulares en 3 espacios.
- El panal tetraédrico truncado triakis es transitivo celular y se basa en un tetraedro regular.
Referencias
- ↑ a b Chen, Elizabeth R .; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2010). "Empaquetaduras densas de dímeros cristalinos de tetraedros regulares". Geometría discreta y computacional . 44 (2): 253–280. arXiv : 1001.0586 . doi : 10.1007 / s00454-010-9273-0 .
- ^ Struik, DJ (1925). "Het probleem 'De Impletione Loci ' ". Nieuw Archief voor Wiskunde . 2do ser. 15 : 121-134. JFM 52.0002.04 .
- ^ Simon Gravel; Veit Elser; Yoav Kallus (2010). "Límite superior de la densidad de empaquetamiento de tetraedros y octaedros regulares". Geometría discreta y computacional . 46 (4): 799–818. arXiv : 1008.2830 . doi : 10.1007 / s00454-010-9304-x .
- ^ Jeffrey Lagarias y Chuanming Zong (4 de diciembre de 2012). "Misterios en el embalaje de tetraedros regulares" (PDF) .
- ^ Comunicado de prensa (03/12/2014). "Jeffrey Lagarias y Chuanming Zong recibirán el Premio Conant 2015" .
- ^ Conway, JH (2006). "Envasado, alicatado y revestimiento con tetraedros" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 103 (28): 10612–10617. Código bibliográfico : 2006PNAS..10310612C . doi : 10.1073 / pnas.0601389103 . PMC 1502280 . PMID 16818891 .
- ^ Hoylman, Douglas J. (1970). "El empaquetamiento de celosía más denso de tetraedros" . Boletín de la American Mathematical Society . 76 : 135-138. doi : 10.1090 / S0002-9904-1970-12400-4 .
- ^ Jaoshvili, Alexander; Esakia, Andria; Porrati, Massimo; Chaikin, Paul M. (2010). "Experimentos sobre el embalaje aleatorio de dados tetraédricos" . Cartas de revisión física . 104 (18): 185501. Código Bibliográfico : 2010PhRvL.104r5501J . doi : 10.1103 / PhysRevLett.104.185501 . hdl : 10919/24495 . PMID 20482187 .
- ^ Chen, Elizabeth R. (2008). "Un embalaje denso de tetraedros regulares". Geometría discreta y computacional . 40 (2): 214–240. arXiv : 0908.1884 . doi : 10.1007 / s00454-008-9101-y .
- ^ Cohn, Henry (2009). "Física matemática: un apretón apretado". Naturaleza . 460 (7257): 801–802. Código Bibliográfico : 2009Natur.460..801C . doi : 10.1038 / 460801a . PMID 19675632 .
- ^ Torquato, S .; Jiao, Y. (2009). "Empaquetaduras densas de los sólidos platónicos y de Arquímedes". Naturaleza . 460 (7257): 876–879. arXiv : 0908.4107 . Código bibliográfico : 2009Natur.460..876T . doi : 10.1038 / nature08239 . PMID 19675649 .
- ^ a b Haji-Akbari, Amir; Engel, Michael; Keys, Aaron S .; Zheng, Xiaoyu; Petschek, Rolfe G .; Palffy-Muhoray, Peter; Glotzer, Sharon C. (2009). "Fases desordenadas, cuasicristalinas y cristalinas de tetraedros densamente empaquetados". Naturaleza . 462 (7274): 773–777. arXiv : 1012.5138 . Código Bibliográfico : 2009Natur.462..773H . doi : 10.1038 / nature08641 . PMID 20010683 .
- ^ Kallus, Yoav; Elser, Veit; Grava, Simon (2010). "Envases periódicos densos de tetraedros con pequeñas unidades repetidas". Geometría discreta y computacional . 44 (2): 245–252. arXiv : 0910.5226 . doi : 10.1007 / s00454-010-9254-3 .
- ^ Torquato, S .; Jiao, Y. (2009). "Construcciones analíticas de una familia de empaquetaduras de tetraedro densos y el papel de la simetría". arXiv : 0912.4210 [ cond-mat.stat-mech ].
- ^ Jin, Weiwei; Lu, Peng; Li, Shuixiang (diciembre de 2015). "Evolución de los empaquetamientos densos de partículas esferotetraédricas: de tetraedros ideales a esferas" . Informes científicos . 5 (1): 15640. doi : 10.1038 / srep15640 .
enlaces externos
- Empacando tetraedros y acercándose a un ajuste perfecto , NYTimes
- Formas eficientes , The Economist
- Las pirámides son la mejor forma para empacar , New Scientist