El teorema de Thébault es el nombre que se le da de diversas formas a uno de los problemas de geometría propuestos por el matemático francés Victor Thébault , conocido individualmente como problema de Thébault I, II y III.
El problema de Thébault I
Dado cualquier paralelogramo , construya en sus lados cuatro cuadrados externos al paralelogramo. El cuadrilátero formado al unir los centros de esos cuatro cuadrados es un cuadrado. [1]
Es un caso especial del teorema de van Aubel y una versión cuadrada del teorema de Napoleón .
El problema de Thébault II
Dado un cuadrado, construya triángulos equiláteros en dos bordes adyacentes, ya sea dentro o fuera del cuadrado. Entonces el triángulo formado al unir el vértice del cuadrado distante de ambos triángulos y los vértices de los triángulos distantes del cuadrado es equilátero. [2]
El problema de Thébault III
Dado cualquier triángulo ABC y cualquier punto M en BC, construya el círculo y el círculo circunferencial del triángulo. Luego construya dos círculos adicionales, cada tangente a AM, BC y al circuncírculo. Entonces sus centros y el centro del círculo son colineales. [3] [4]
Hasta 2003, el mundo académico pensaba que este tercer problema de Thébault era el más difícil de probar . Fue publicado en el American Mathematical Monthly en 1938 y probado por el matemático holandés H. Streefkerk en 1973. Sin embargo, en 2003, Jean-Louis Ayme descubrió que Y. Sawayama, un instructor de la Escuela Militar Central de Tokio, propuso y resolvió este problema en 1905. [5]
En Shay Gueron (2002) se encuentra una versión "externa" de este teorema, donde el incírculo se reemplaza por un excirculo y los dos círculos adicionales son externos al circuncírculo. [6] Hay una demostración basada en el teorema de Casey en el artículo.
Referencias
- ^ http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Thebault1.shtml (consultado el 27 de enero de 2016)
- ^ http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Thebault2.shtml (consultado el 27 de enero de 2016)
- ^ http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Thebault3.shtml (consultado el 27 de enero de 2016)
- ^ Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: geometría por su historia . Springer, 2012, págs. 226–230
- ^ Ayme, Jean-Louis (2003), "Teorema de Sawayama y Thébault" (PDF) , Forum Geometricorum , 3 : 225-229, MR 2055379
- ^ Gueron, Shay (abril de 2002). "Dos aplicaciones del teorema de Ptolomeo generalizado" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 109 (4): 362–370. doi : 10.2307 / 2695499 . JSTOR 2695499 .
enlaces externos
- Problemas y variaciones de Thébault en cut-the.knot.org