En topología diferencial , el teorema de transversalidad , también conocido como el teorema de transversalidad de Thom en honor al matemático francés René Thom , es un resultado importante que describe las propiedades de intersección transversal de una familia suave de mapas suaves. Dice que la transversalidad es una propiedad genérica : cualquier mapa uniforme, puede deformarse por una pequeña cantidad arbitraria en un mapa que es transversal a una subvariedad determinada . Junto con la construcción de Pontryagin-Thom , es el corazón técnico de la teoría del cobordismo y el punto de partida para la teoría de la cirugía . La versión de dimensión finita del teorema de transversalidad es también una herramienta muy útil para establecer la genéricoidad de una propiedad que depende de un número finito de parámetros reales y que es expresable mediante un sistema de ecuaciones no lineales. Esto se puede extender a una parametrización de dimensión infinita utilizando la versión de dimensión infinita del teorema de transversalidad.
Versión de dimensión finita
Definiciones anteriores
Dejar ser un mapa suave entre variedades suaves, y dejar ser una subvariedad de . Nosotros decimos eso es transversal a , denotado como , si y solo si para cada tenemos eso
- .
Un resultado importante sobre la transversalidad establece que si un mapa uniforme es transversal a , luego es una subvariedad regular de .
Si es una variedad con límite , entonces podemos definir la restricción del mapa al límite, como . El mapa es suave, y nos permite establecer una extensión del resultado anterior: si ambos y , luego es una subvariedad regular de con límite, y
- .
Teorema de transversalidad paramétrica
Considere el mapa y definir . Esto genera una familia de mapeos.. Requerimos que la familia varíe suavemente asumiendo ser un colector (suave) y ser suave.
El enunciado del teorema de transversalidad paramétrica es:
Suponer que es un mapa uniforme de variedades, donde solo tiene límite, y deja ser cualquier submúltiple de sin límite. Si ambos y son transversales a , luego para casi todos , ambas cosas y son transversales a .
Teoremas de transversalidad más generales
El teorema de transversalidad paramétrica anterior es suficiente para muchas aplicaciones elementales (ver el libro de Guillemin y Pollack).
Hay enunciados más poderosos (conocidos colectivamente como teoremas de transversalidad ) que implican el teorema de transversalidad paramétrica y son necesarios para aplicaciones más avanzadas.
De manera informal, el "teorema de la transversalidad" establece que el conjunto de asignaciones que son transversales a una subvariedad dada es un abierto denso (o, en algunos casos, sólo un denso ) subconjunto del conjunto de asignaciones. Para que tal declaración sea precisa, es necesario definir el espacio de las asignaciones en consideración y cuál es la topología en él. Hay varias posibilidades; vea el libro de Hirsch.
Lo que generalmente se entiende por el teorema de transversalidad de Thom es una declaración más poderosa sobre la transversalidad del chorro . Vea los libros de Hirsch y de Golubitsky y Guillemin. La referencia original es Thom, Bol. Soc. Estera. Mexicana (2) 1 (1956), págs. 59–71.
John Mather demostró en la década de 1970 un resultado aún más general llamado teorema de transversalidad multichorro . Vea el libro de Golubitsky y Guillemin.
Versión de dimensión infinita
La versión de dimensión infinita del teorema de transversalidad tiene en cuenta que las variedades pueden modelarse en espacios de Banach. [ cita requerida ]
Declaración formal
Suponer es un mapa de -Múltiples Banach. Asumir:
- (I) y son no vacíos, metrizables -Múltiples Banach con espacios de gráficos sobre un campo
- (ii) El -mapa con posee como valor regular.
- (iii) Para cada parámetro , el mapa es un mapa de Fredholm , donde para cada
- (iv) La convergencia en como y para todos implica la existencia de una subsecuencia convergente como con
Si (i) - (iv) se mantienen, entonces existe un subconjunto denso y abierto tal que es un valor regular de para cada parámetro
Ahora, arregla un elemento Si existe un numero con para todas las soluciones de , luego la solución se establece consiste en un -dimensional -El colector de Banach o el conjunto de solución está vacío.
Tenga en cuenta que si para todas las soluciones de entonces existe un subconjunto denso abierto de tal que haya como mucho un número finito de soluciones para cada parámetro fijo Además, todas estas soluciones son regulares.
Referencias
- Arnold, Vladimir I. (1988). Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Saltador. ISBN 0-387-96649-8.
- Golubitsky, Martin ; Guillemin, Victor (1974). Mapeos estables y sus singularidades . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X.
- Guillemin, Victor ; Pollack, Alan (1974). Topología diferencial . Prentice Hall. ISBN 0-13-212605-2.
- Hirsch, Morris W. (1976). Topología diferencial . Saltador. ISBN 0-387-90148-5.
- Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés differentiables". Commentarii Mathematici Helvetici . 28 (1): 17–86. doi : 10.1007 / BF02566923 .
- Thom, René (1956). "Un lemme sur les applications différentiables". Bol. Soc. Estera. Mexicana . 2 (1): 59–71.
- Zeidler, Eberhard (1997). Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones: Parte 4: Aplicaciones a la física matemática . Saltador. ISBN 0-387-96499-1.