En matemáticas, el teorema de los tres huecos , el teorema de las tres distancias o la conjetura de Steinhaus establece que si uno coloca n puntos en un círculo, en ángulos de θ , 2 θ , 3 θ ... desde el punto de partida, entonces habrá como máximo tres distancias distintas entre pares de puntos en posiciones adyacentes alrededor del círculo. Cuando hay tres distancias, la mayor de las tres siempre es igual a la suma de las otras dos. [1] A menos que θ sea un múltiplo racional de π , también habrá al menos dos distancias distintas.
Este resultado fue conjeturado por Hugo Steinhaus , y probado en la década de 1950 por Vera T. Sós , János Surányi y Stanisław Świerczkowski . Sus aplicaciones incluyen el estudio del crecimiento de las plantas y los sistemas de afinación musical, y la teoría de las palabras sturmianas .
Aplicaciones
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/d/db/Goldener_Schnitt_Blattstand.png/220px-Goldener_Schnitt_Blattstand.png)
En filotaxis (la teoría del crecimiento de las plantas), se ha observado que cada hoja sucesiva en los tallos de muchas plantas se gira desde la hoja anterior en un ángulo dorado , aproximadamente 137,5 °. Se ha sugerido que este ángulo maximiza el poder de captación de sol de las hojas de la planta. [2] Si uno mira de frente a un tallo de planta que ha crecido de esta manera, habrá como máximo tres ángulos distintos entre dos hojas que son consecutivas en el orden cíclico dado por esta vista de frente. [3] En la figura, el mayor de estos tres ángulos ocurre tres veces, entre las hojas numeradas 3 y 6, entre las hojas 4 y 7, y entre las hojas 5 y 8. El segundo ángulo más grande ocurre cinco veces, entre las hojas 6 y 1, 9 y 4, 7 y 2, 10 y 5, y 8 y 3. y el ángulo más pequeño se produce sólo dos veces, entre las hojas 1 y 9 y entre las hojas 2 y 10. (Este fenómeno no tiene nada que ver con el oro relación ; la misma propiedad, de tener solo tres espacios distintos entre puntos consecutivos en un círculo, ocurre para cualquier otro ángulo de rotación, y no solo para el ángulo dorado.) [3]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/a8/PythagoreanTuningGeometric.png/290px-PythagoreanTuningGeometric.png)
En teoría musical , este teorema implica que si un sistema de afinación es generado por un número de múltiplos consecutivos de un intervalo dado , reducido a una secuencia cíclica considerando dos tonos como equivalentes cuando difieren en números enteros de octavas , entonces hay en la mayoría de los tres intervalos diferentes entre tonos consecutivos de la escala. [4] [5] Por ejemplo, la afinación pitagórica se construye de esta manera a partir de múltiplos de una quinta perfecta . Tiene sólo dos intervalos distintos que representan sus semitonos , [6] pero si se extendiera un paso más, la secuencia de intervalos entre sus tonos incluiría un tercer intervalo más corto, la coma pitagórica . [7]
En la teoría de las palabras sturmianas , el teorema implica que las palabras de una longitud dada n que aparecen dentro de una palabra sturmiana dada tienen como máximo tres frecuencias distintas. Si hay tres frecuencias, una de ellas debe ser igual a la suma de las otras dos. [8]
Historia y prueba
El teorema de las tres brechas fue conjeturado por Hugo Steinhaus , y sus primeras demostraciones fueron publicadas a finales de la década de 1950 por Vera T. Sós , [9] János Surányi , [10] y Stanisław Świerczkowski . [11] También se han publicado varias pruebas posteriores. [12] [13] [14] [15] [16]
La siguiente prueba simple se debe a Frank Liang. Defina un espacio (un arco del círculo entre puntos adyacentes del conjunto dado) para que sea rígido si al rotar ese espacio en un ángulo de θ no se produce otro espacio de la misma longitud. Cada rotación en θ aumenta la posición de los puntos finales del espacio en el orden de colocación de los puntos, y tal aumento no se puede repetir indefinidamente, por lo que cada espacio tiene la misma longitud que un espacio rígido. Pero las únicas formas de que un espacio sea rígido es que uno de sus dos extremos sea el último punto en la secuencia de colocación (de modo que el punto correspondiente falte en el espacio girado) o que otro punto aterrice en su copia girada. Solo puede faltar un punto final si el espacio es uno de los dos espacios a cada lado del último punto en el orden de colocación. Y un punto solo puede aterrizar dentro de la copia rotada si es el primer punto en el orden de colocación. Por lo tanto, puede haber como máximo tres espacios rígidos y como máximo tres longitudes de espacios. Además, cuando hay tres, la copia rotada de un espacio rígido que tiene el primer punto se divide por ese punto en dos espacios más pequeños, por lo que en este caso la longitud de espacio más larga es la suma de los otros dos. [17] [18]
Un teorema anterior estrechamente relacionado, también llamado teorema de los tres huecos, es que si A es cualquier arco del círculo, entonces la secuencia entera de múltiplos de θ que aterriza en A tiene como máximo tres huecos entre los valores de la secuencia. Nuevamente, si hay tres espacios, uno es la suma de los otros dos. [19] [20]
Ver también
Referencias
- ^ Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003), "2.6 El teorema de las tres distancias", Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones , Cambridge University Press, págs. 53–55, ISBN 9780521823326
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- ^ a b van Ravenstein, Tony (1987), "Secuencias numéricas y filotaxis", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 36 (2): 333, doi : 10.1017 / s0004972700026605
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