En geometría , el ángulo áureo es el más pequeño de los dos ángulos creados al seccionar la circunferencia de un círculo de acuerdo con la proporción áurea ; es decir, en dos arcos de modo que la relación entre la longitud del arco más pequeño y la longitud del arco más grande sea la misma que la relación entre la longitud del arco más grande y la circunferencia completa del círculo.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/06/Golden_Angle.svg/220px-Golden_Angle.svg.png)
Algebraicamente, sea a + b la circunferencia de un círculo , dividido en un arco más largo de longitud a y un arco más pequeño de longitud b tal que
El ángulo dorado es entonces el ángulo subtendido por el arco más pequeño de longitud b . Mide aproximadamente 137.5077640500378546463487 ... ° OEIS : A096627 o en radianes 2.39996322972865332 ... OEIS : A131988 .
El nombre proviene de la conexión del ángulo áureo con la proporción áurea φ ; el valor exacto del ángulo dorado es
o
donde las equivalencias se derivan de conocidas propiedades algebraicas de la proporción áurea.
Como su seno y coseno son números trascendentales , el ángulo dorado no se puede construir usando una regla y un compás . [1]
Derivación
La proporción áurea es igual a φ = a / b dadas las condiciones anteriores.
Sea f la fracción de la circunferencia subtendida por el ángulo áureo, o equivalentemente, el ángulo áureo dividido por la medida angular del círculo.
Pero desde
resulta que
Esto equivale a decir que φ 2 ángulos áureos pueden caber en un círculo.
Por tanto, la fracción de un círculo ocupada por el ángulo áureo es
Por lo tanto, el ángulo dorado g puede aproximarse numéricamente en grados como:
o en radianes como:
Ángulo dorado en la naturaleza
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/d/db/Goldener_Schnitt_Blattstand.png)
El ángulo dorado juega un papel importante en la teoría de la filotaxis ; por ejemplo, el ángulo dorado es el ángulo que separa las flores de un girasol . [2] El análisis del patrón muestra que es muy sensible al ángulo que separa los primordios individuales , con el ángulo de Fibonacci dando al parastichy una densidad de empaquetamiento óptima. [3]
El modelado matemático de un mecanismo físico plausible para el desarrollo de flósculos ha mostrado el patrón que surge espontáneamente de la solución de una ecuación diferencial parcial no lineal en un plano. [4] [5]
Referencias
- ↑ Freitas, Pedro J. (25 de enero de 2021). "El Ángulo Áureo no es Construible" . arXiv : 2101.10818v1 . Bibcode : 2021arXiv210110818F - a través de arXiv. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Jennifer Chu (12 de enero de 2011). "Aquí viene el sol" . Noticias del MIT . Consultado el 22 de abril de 2016 .
- ^ Ridley, JN (febrero de 1982). "Eficiencia de empaque en cabezas de girasol". Biociencias matemáticas . 58 (1): 129-139. doi : 10.1016 / 0025-5564 (82) 90056-6 .
- ^ Pennybacker, Matthew; Newell, Alan C. (13 de junio de 2013). "Filotaxis, frentes de formación de patrones empujados y embalaje óptimo" (PDF) . Cartas de revisión física . 110 (24): 248104. doi : 10.1103 / PhysRevLett.110.248104 . ISSN 0031-9007 . PMID 25165965 .
- ^ "Girasoles y Fibonacci: modelos de eficiencia" . Eso es Matemáticas . 2014-06-05 . Consultado el 23 de mayo de 2020 .
- Vogel, H (1979). "Una mejor forma de construir la cabeza de girasol". Biociencias matemáticas . 44 (3–4): 179–189. doi : 10.1016 / 0025-5564 (79) 90080-4 .
- Prusinkiewicz, Przemysław ; Lindenmayer, Aristid (1990). La belleza algorítmica de las plantas . Springer-Verlag. págs. 101-107 . ISBN 978-0-387-97297-8.
enlaces externos
- Ángulo de oro en MathWorld