En matemáticas, el límite de Thurston del espacio de Teichmüller de una superficie se obtiene como el límite de su cierre en el espacio proyectivo de funcionales en curvas cerradas simples en la superficie. Se puede interpretar como el espacio de foliaciones medidas proyectivas en la superficie.
El límite de Thurston del espacio de Teichmüller de una superficie cerrada de género es homeomorfo a una esfera de dimensión . La acción del grupo de clases cartográficas sobre el espacio de Teichmüller se extiende continuamente sobre la unión con el límite.
Foliaciones medidas en superficies
Dejar ser una superficie cerrada. Una foliación medida en es una foliación en que puede admitir singularidades aisladas, junto con una medida transversal , es decir, una función que para cada arco transversal a la foliación asocia un número real positivo . La foliación y la medida deben ser compatibles en el sentido de que la medida es invariante si el arco se deforma con extremos que permanecen en la misma hoja. [1]
Dejar ser el espacio de clases de isotopía de curvas simples cerradas en . Una foliación medida se puede utilizar para definir una función de la siguiente manera: si es cualquier curva deja
donde el supremo se hace cargo de todas las colecciones de arcos disjuntos que son transversales a (En particular Si es una hoja cerrada de ). Entonces sí el número de intersección se define por:
- .
Se dice que dos foliaciones medidas son equivalentes si definen la misma función en(hay un criterio topológico para esta equivalencia a través de movimientos de Whitehead ). El espaciode laminaciones medidas proyectivas es la imagen del conjunto de laminaciones medidas en el espacio proyectivo a través de la incrustación . Si el genero de es al menos 2, el espacio es homeomorfo para el -esfera dimensional (en el caso del toro es la 2-esfera; no hay foliaciones medidas en la esfera).
Compactificación del espacio de Teichmüller
Integración en el espacio de los funcionales
Dejar ser una superficie cerrada. Recuerde que un punto en el espacio de Teichmüller es un par dónde es una superficie hiperbólica (una variedad de Riemann con curvaturas seccionales todas iguales a ) y un homeomorfismo, hasta una relación de equivalencia natural. El espacio Teichmüller se puede realizar como un espacio de funcionalidades en el plató de clases de isotopía de curvas cerradas simples en como sigue. Si y luego se define como la longitud de la geodésica cerrada única en en la clase de isotopía . El mapa es una incrustación de dentro , que se puede utilizar para dar al espacio de Teichmüller una topología (el lado derecho tiene la topología del producto).
De hecho, el mapa del espacio proyectivo sigue siendo una incrustación: deje denotar la imagen de allí. Dado que este espacio es compacto, el cierrees compacto: se llama la compactación de Thurston del espacio de Teichmüller.
El límite de Thurston
EL limite es igual al subconjunto de . La prueba también implica que la compactación de Thurston es homeomórfica a la-bola cerrada dimensional. [2]
Aplicaciones
Diffeomorfismos pseudo-Anosov
Un difeomorfismo se llama pseudo-Anosov si existen dos foliaciones transversales medidas, de modo que bajo su acción se conservan las foliaciones subyacentes y las medidas se multiplican por un factor respectivamente para algunos (llamado factor de estiramiento). Usando su compactificación, Thurston demostró la siguiente caracterización de clases de mapeo pseudo-Anosov (es decir, clases de mapeo que contienen un elemento pseudo-Anosov), que en esencia era conocida por Nielse y generalmente se llama clasificación de Nielsen-Thurston . Una clase de mapeo es pseudo-Anosov si y solo si:
- no es reducible (es decir, no hay y tal que );
- no es de orden finito (es decir, no hay tal que es la clase de isotopía de la identidad).
La demostración se basa en el teorema del punto fijo de Brouwer aplicado a la acción de sobre la compactación de Thurston . Si el punto fijo está en el interior, entonces la clase es de orden finito; si está en el límite y la foliación subyacente tiene una hoja cerrada, entonces es reducible; en el caso restante es posible mostrar que hay otro punto fijo correspondiente a una foliación medida transversal y deducir la propiedad pseudo-Anosov.
Aplicaciones al grupo de clases de mapeo
La acción del grupo de clases de mapeo de la superficie.en el espacio de Teichmüller se extiende continuamente a la compactación de Thurston. Esto proporciona una herramienta poderosa para estudiar la estructura de este grupo; por ejemplo, se usa en la prueba de la alternativa de Tetas para el grupo de clase de mapeo. También se puede utilizar para probar varios resultados sobre la estructura de subgrupos del grupo de clases de mapeo. [3]
Aplicaciones a 3 colectores
La compactación del espacio de Teichmüller mediante la adición de foliaciones medidas es esencial en la definición de las laminaciones finales de un 3-múltiple hiperbólico .
Acciones en árboles reales
Un punto en el espacio de Teichmüller alternativamente, puede verse como una representación fiel del grupo fundamental en el grupo de isometría del plano hiperbólico , hasta la conjugación. Tal acción isométrica da lugar (a través de la elección de un ultrafiltro principal ) a una acción sobre el cono asintótico de, que es un árbol real . Dos de tales acciones son equivariamente isométricas si y solo si provienen del mismo punto en el espacio de Teichmüller. El espacio de tales acciones (dotado de una topología natural) es compacto, y de ahí obtenemos otra compactificación del espacio de Teichmüller. Un teorema de R. Skora establece que esta compactificación es equivariamente homeomorfa a la compactificación de Thurston. [4]
Notas
- ^ Fathi, Laudenbach y Poenaru 2012 , Exposé 5.
- ^ Fathi, Laudenbach y Poenaru 2012 , Exposé 8.
- ^ Ivanov 1992 .
- ^ Bestvina, Mladen. "-árboles en topología, geometría y teoría de grupos ". Manual de topología geométrica . Holanda Septentrional. pp. 55-91.
Referencias
- Fathi, Albert; Laudenbach, François; Poénaru, Valentin (2012). El trabajo de Thurston sobre superficies Traducido del original francés de 1979 por Djun M. Kim y Dan Margalit . Notas matemáticas. 48 . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. xvi + 254. ISBN 978-0-691-14735-2.
- Ivanov, Nikolai (1992). Subgrupos de grupos modulares de Teichmüller . Matemáticas americanas. Soc.