En matemáticas , los árboles reales (también llamados-árboles ) son una clase de espacios métricos que generalizan árboles simpliciales . Surgen naturalmente en muchos contextos matemáticos, en particular la teoría de grupos geométricos y la teoría de probabilidades . También son los ejemplos más simples de espacios hiperbólicos de Gromov .
Definición y ejemplos
Definicion formal
Un espacio métrico es un árbol real si es un espacio geodésico donde cada triángulo es un trípode. Es decir, por cada tres puntos existe un punto tal que los segmentos geodésicos intersecar en el segmento y también . Esta definición es equivalente asiendo un "espacio cero-hiperbólico" en el sentido de Gromov (todos los triángulos son "cero-delgados"). Los árboles reales también se pueden caracterizar por una propiedad topológica . Un espacio métrico es un árbol real si por cualquier par de puntos todas las incrustaciones topológicas del segmento dentro tal que tienen la misma imagen (que es entonces un segmento geodésico de a ).
Ejemplos sencillos
- Si es un gráfico con la métrica combinatoria, entonces es un árbol real si y solo si es un árbol (es decir, no tiene ciclos ). A este árbol se le suele llamar árbol simplicial. Se caracterizan por la siguiente propiedad topológica: un árbol real es simple si y solo si el conjunto de puntos singulares de (puntos cuyo complemento en tiene tres o más componentes conectados) es discreto en .
- El árbol R obtenido de la siguiente manera no es significativo. Comience con el intervalo [0, 2] y pegue, para cada entero positivo n , un intervalo de longitud 1 / n al punto 1 - 1 / n en el intervalo original. El conjunto de puntos singulares es discreto, pero no se cierra ya que 1 es un punto ordinario en este árbol R. Pegar un intervalo a 1 daría como resultado un conjunto cerrado de puntos singulares a expensas de la discreción.
- La métrica de París convierte al avión en un árbol real. Se define de la siguiente manera: se fija un origen, y si dos puntos están en el mismo rayo desde , su distancia se define como la distancia euclidiana. De lo contrario, su distancia se define como la suma de las distancias euclidianas de estos dos puntos al origen..
- De manera más general, cualquier espacio de erizo es un ejemplo de un árbol real.
En contexto matemático
Los árboles reales a menudo aparecen, en diversas situaciones, como límites de espacios métricos más clásicos.
Árboles brownianos
Un árbol browniano [1] es un árbol real (no simplicial) casi con seguridad. Los árboles brownianos surgen como límites de varios procesos aleatorios en árboles finitos. [2]
Ultralímites de espacios métricos
Cualquier ultralímite de una secuencia de - espacios hiperbólicos cones un árbol real. En particular, el cono asintótico de cualquier espacio hiperbólico es un árbol real.
Límite de acciones grupales
Dejar ser un grupo . Para una secuencia de-espacios hay una noción de convergencia a una base -espacio debido a M. Bestvina y F. Paulin. Cuando los espacios son hiperbólicos y las acciones son ilimitadas, el límite (si existe) es un árbol real. [3]
Se obtiene un ejemplo sencillo tomando dónde es una superficie compacta , y la cubierta universal de con la métrica (dónde es una métrica hiperbólica fija en ).
Esto es útil para producir acciones de grupos hiperbólicos en árboles reales. Estas acciones se analizan mediante la denominada máquina Rips . Un caso de particular interés es el estudio de la degeneración de grupos que actúan propiamente de forma discontinua sobre un espacio hiperbólico real (anterior al trabajo de Rips, Bestvina y Paulin y se debe a J. Morgan y P. Shalen [4] ).
Grupos algebraicos
Si es un campo con una valoración ultramétrica, luego el edificio Bruhat-Tits dees un árbol real. Es simple si y solo si las valoraciones son discretas.
Generalizaciones
-árboles
Si es un grupo abeliano totalmente ordenado, existe una noción natural de distancia con valores en (los espacios métricos clásicos corresponden a ). Hay una noción de-árbol [5] que recupera árboles simpliciales cuando y árboles reales cuando . La estructura de grupos finitamente presentados que actúan libremente sobre-árboles fue descrito. [6] En particular, dicho grupo actúa libremente sobre algunos-árbol.
Edificios reales
Los axiomas de un edificio se pueden generalizar para dar una definición de un edificio real. Estos surgen, por ejemplo, como conos asintóticos de espacios simétricos de rango superior o como edificios de Bruhat-Tits de grupos de rango superior sobre campos valorados.
Ver también
Referencias
- ^ Aldous, D. (1991), "El árbol aleatorio continuo I", Anales de probabilidad , 19 : 1–28.
- ^ Aldous, D. (1991), "El árbol aleatorio continuo III", Annals of Probability , 21 : 248-289.
- ^ Bestvina, Mladen (2002), "-árboles en topología, geometría y teoría de grupos ", Manual de topología geométrica , Elsevier, págs. 55–91
- ^ Shalen, Peter B. (1987), "Dendrología de grupos: una introducción", en Gersten, SM (ed.), Ensayos en teoría de grupos , matemáticas. Sci. Res. Inst. Publ., 8 , Springer-Verlag , págs. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2, MR 0919830
- ^ Chiswell, Ian (2001), Introducción a los árboles Λ , River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 981-02-4386-3, MR 1851337
- ^ O. Kharlampovich, A. Myasnikov, D. Serbin, Acciones, funciones de longitud y palabras no arquimedianas IJAC 23, No. 2, 2013.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )