En matemáticas , la alternativa de Tits , llamada así por Jacques Tits , es un teorema importante sobre la estructura de grupos lineales generados finitamente .
Declaración
El teorema, probado por Tits, [1] se enuncia de la siguiente manera.
- Dejar ser un grupo lineal generado finitamente sobre un campo. Entonces ocurren dos posibilidades siguientes:
- ya sea es virtualmente solucionable (es decir, tiene un subgrupo solucionable de índice finito )
- o contiene un grupo libre no beliano (es decir, tiene un subgrupo isomórfico al grupo libre en dos generadores).
Consecuencias
Un grupo lineal no es susceptible si y solo si contiene un grupo libre no abeliano (por lo tanto, la conjetura de von Neumann , aunque no es cierta en general, es válida para los grupos lineales).
La alternativa de Tits es un ingrediente importante [2] en la demostración del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial . De hecho, la alternativa esencialmente establece el resultado para grupos lineales (lo reduce al caso de grupos solubles, que pueden ser tratados por medios elementales).
Generalizaciones
En la teoría de grupos geométrico , un grupo G se dice que satisfacer la alternativa Tits si para cada subgrupo H de G ya sea H es prácticamente soluble o H contiene un nonabelian libre subgrupo (en algunas versiones de la definición sólo se requiere ser satisfecho para esta condición todos los subgrupos de G generados finitamente ).
Ejemplos de grupos que satisfacen la alternativa de Tits que no son lineales, o al menos no se sabe que son lineales, son:
- Grupos hiperbólicos
- Mapeo de grupos de clases ; [3] [4]
- Fuera (Fn) ; [5]
- Ciertos grupos de transformaciones biracionales de superficies algebraicas . [6]
Ejemplos de grupos que no satisfacen la alternativa de Tetas son:
Prueba
La prueba de la alternativa original de Tits [1] es mirar el cierre de Zariski de en . Si se puede resolver, entonces el grupo se puede resolver. De lo contrario, uno mira la imagen deen el componente de Levi. Si no es compacto, un argumento de ping-pong finaliza la prueba. Si es compacto, entonces todos los valores propios de los elementos en la imagen de son raíces de unidad y entonces la imagen es finita, o uno puede encontrar una incrustación de en el que se puede aplicar la estrategia del ping-pong.
Tenga en cuenta que la prueba de todas las generalizaciones anteriores también se basa en un argumento de ping-pong.
Notas
- ^ a b Tetas, J. (1972). "Subgrupos libres en grupos lineales". Revista de álgebra . 20 (2): 250–270. doi : 10.1016 / 0021-8693 (72) 90058-0 .
- ^ Tetas, Jacques (1981). "Groupes à croissance polyinomiale" . Séminaire Bourbaki (en francés). 1980/1981.
- ^ Ivanov, Nikolai (1984). "Propiedades algebraicas del grupo modular Teichmüller". Dokl. Akad. Nauk SSSR . 275 : 786–789.
- ^ McCarthy, John (1985). "Una" alternativa de tetas "para subgrupos de grupos de clases de mapas de superficie" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 291 : 583–612. doi : 10.1090 / s0002-9947-1985-0800253-8 .
- ^ Bestvina , Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael (2000). "La alternativa de Tetas para Out ( F n ) I: Dinámica de automorfismos de crecimiento exponencial". Annals of Mathematics . 151 (2): 517–623. arXiv : matemáticas / 9712217 . doi : 10.2307 / 121043 . JSTOR 121043 .
- ^ Cantat, Serge (2011). "Sur les groupes de transformations birationnelles des surface" . Ana. Matemáticas. (en francés). 174 : 299–340. doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.8 .