El teorema de convolución de Titchmarsh lleva el nombre de Edward Charles Titchmarsh , un matemático británico. El teorema describe las propiedades del soporte de la convolución de dos funciones.
Teorema de convolución de Titchmarsh
EC Titchmarsh demostró el siguiente teorema, conocido como teorema de convolución de Titchmarsh, en 1926:
Si y son funciones integrables, tales que
casi en todas partes en el intervalo, entonces existen y satisfactorio tal que casi en todas partes en y casi en todas partes en
Sigue un corolario:
Si la integral anterior es 0 para todos entonces tambien o es casi en todas partes 0 en el intervalo
El teorema se puede reformular de la siguiente forma:
- Dejar . Luego si el lado derecho es finito.
- Similar, si el lado derecho es finito.
Este teorema esencialmente establece que la inclusión conocida
es agudo en el límite.
La generalización de dimensiones superiores en términos del casco convexo de los soportes fue probada por J.-L. Leones en 1951:
- Si , luego
Sobre, denota el casco convexo del conjunto.denota el espacio de distribuciones con soporte compacto .
El teorema carece de una demostración elemental. [1] La demostración original de Titchmarsh se basa en el principio Phragmén-Lindelöf , la desigualdad de Jensen , el Teorema de Carleman y el Teorema de Valiron . Más pruebas se encuentran en:
- "Teorema 4.3.3", Hörmander, L. (1990). El análisis de los operadores lineales en derivadas parciales, yo . Springer Study Edition (2ª ed.). Berlín: Springer-Verlag.
- ( estilo de análisis armónico )
- "Capítulo VI", Yosida, K. (1980). Análisis funcional . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Principios fundamentales de las ciencias matemáticas), vol. 123 (6ª ed.). Berlín: Springer-Verlag.
- ( estilo de análisis real )
- "Conferencia 16", Levin, B. Ya. (1996). Conferencias sobre funciones completas . Traducciones de monografías matemáticas, vol. 150. Providence, RI: American Mathematical Society.
- ( estilo de análisis complejo ).
Bibliografía
- Titchmarsh, EC (1926). "Los ceros de determinadas funciones integrales". Actas de la London Mathematical Society . 25 : 283-302. doi : 10.1112 / plms / s2-25.1.283 .
- Leones, J.-L. (1951). "Apoya de produits de composición". Les Comptes rendus de l'Académie des sciences (I y II)
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( ayuda ) . 232 : 1530-1532, 1622-1624.
- Mikusiński, J. y Świerczkowski, S. (1960). "Teorema de Titchmarsh sobre convolución y la teoría de Dufresnoy". Prace Matematyczne . 4 : 59–76.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )