En el análisis complejo , el principio (o método ) Phragmén-Lindelöf , formulado por primera vez por Lars Edvard Phragmén (1863-1937) y Ernst Leonard Lindelöf (1870-1946) en 1908, es una técnica que emplea una función auxiliar parametrizada para demostrar la delimitación de una función holomórfica (es decir, ) en un dominio ilimitado cuando una condición adicional (generalmente leve) que restringe el crecimiento de en es dado. Es una generalización del principio de módulo máximo , que solo es aplicable a dominios acotados.
Fondo
En la teoría de funciones complejas, se sabe que el módulo (valor absoluto) de un holomorphic función (complejo diferenciable) en el interior de una limitada región está limitada por su módulo en el límite de la región. Más precisamente, si una función no constantees holomórfico en una región delimitada [1] y continua en su cierre, luego para todos . Esto se conoce como el principio de módulo máximo. (De hecho, desde es compacto y es continuo, en realidad existe tal que .) El principio de módulo máximo se usa generalmente para concluir que una función holomórfica está limitada en una región después de mostrar que está limitada en su límite.
Sin embargo, el principio de módulo máximo no se puede aplicar a una región ilimitada del plano complejo. Como ejemplo concreto, examinemos el comportamiento de la función holomórfica en la franja ilimitada
- .
Aunque , así que eso está delimitado por el límite , crece rápidamente sin límite cuando a lo largo del eje real positivo. La dificultad aquí proviene del crecimiento extremadamente rápido dea lo largo del eje real positivo. Si la tasa de crecimiento dese garantiza que no sea "demasiado rápido", según lo especificado por una condición de crecimiento adecuada, el principio de Phragmén-Lindelöf se puede aplicar para demostrar que la delimitación de en el límite de la región implica que de hecho, está delimitada en toda la región, extendiendo efectivamente el principio de módulo máximo a regiones ilimitadas.
Esquema de la técnica
Supongamos que se nos da una función holomórfica y una región ilimitada , y queremos demostrar que en . En un argumento típico de Phragmén-Lindelöf, introducimos un cierto factor multiplicativo satisfactorio para "dominar" el crecimiento de . En particular, se elige de manera que (i): es holomorfo para todos y en el límite de una subregión limitada apropiada; y (ii): el comportamiento asintótico de nos permite establecer que por (es decir, la parte ilimitada de fuera del cierre de la subregión delimitada). Esto nos permite aplicar el principio de módulo máximo para concluir primero que en y luego extender la conclusión a todos . Finalmente, dejamos así que eso para cada para concluir que en .
En la literatura de análisis complejo, hay muchos ejemplos del principio Phragmén-Lindelöf aplicado a regiones ilimitadas de diferentes tipos, y también una versión de este principio puede aplicarse de manera similar a funciones subarmónicas y superarmónicas.
Ejemplo de aplicacion
Para continuar con el ejemplo anterior, podemos imponer una condición de crecimiento a una función holomórfica que evita que "explote" y permite aplicar el principio Phragmén-Lindelöf. Con este fin, incluimos ahora la condición de que
para algunas constantes reales y , para todos . Entonces se puede demostrar que para todos implica que de hecho vale para todos . Así, tenemos la siguiente proposición:
Proposición. Dejar
- .
Dejar ser holomórfico en y continua , y supongamos que existen constantes reales tal que
para todos y para todos . Luego para todos .
Tenga en cuenta que esta conclusión falla cuando , precisamente como demuestra el contraejemplo motivador de la sección anterior. La prueba de esta declaración emplea un argumento típico de Phragmén-Lindelöf: [2]
Prueba: (Boceto) Arreglamos y definir para cada la función auxiliar por . Además, para un, definimos ser el rectángulo abierto en el plano complejo encerrado dentro de los vértices . Ahora, arregla y considera la función . Se puede demostrar que como . Esto nos permite encontrar un tal que cuando sea y . Porque es una región acotada, y para todos , el principio de módulo máximo implica que para todos . Desde cuando sea y , de hecho vale para todos . Finalmente, porque como , concluimos que para todos . ∎
Principio de Phragmén-Lindelöf para un sector en el plano complejo
Una afirmación particularmente útil demostró utilizar el principio de Phragmén-Lindelöf delimita funciones holomorfas en un sector del plano complejo si está limitado en su límite. Esta declaración se puede utilizar para dar una prueba analítica compleja del principio de incertidumbre de Hardy , que establece que una función y su transformada de Fourier no pueden decaer más rápido que exponencialmente. [3]
Proposición. Dejarser una función holomórfica en un sector
de ángulo central y continua en su límite. Si
( 1 )
por , y
( 2 )
para todos , dónde y , entonces ( 1 ) vale también para todos.
Observaciones
- La condición ( 2 ) se puede relajar para
( 3 )
con la misma conclusión.
Casos especiales
En la práctica, el punto 0 a menudo se transforma en el punto ∞ de la esfera de Riemann . Esto da una versión del principio que se aplica a las franjas, por ejemplo, delimitadas por dos líneas de parte real constante en el plano complejo. Este caso especial a veces se conoce como teorema de Lindelöf .
El teorema de Carlson es una aplicación del principio a funciones limitadas en el eje imaginario.
Referencias
- ^ El término región no se emplea de manera uniforme en la literatura; aquí, una región se considera un subconjunto abierto conectado no vacío del plano complejo.
- ^ Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 257-259. ISBN 0070542341.
- ^ Tao, Terence (18 de febrero de 2009). "Principio de incertidumbre de Hardy" . Actualizaciones sobre mi investigación y artículos expositivos, discusión de problemas abiertos y otros temas relacionados con las matemáticas. Por Terence Tao .
- Phragmén, Lars Edvard; Lindelöf, Ernst (1908). "Sur une extension d'un principe classique de l'analyse et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier" (PDF) . Acta Math . 31 (1): 381–406. doi : 10.1007 / BF02415450 . ISSN 0001-5962 .
- Riesz, Marcel (1920). "Sur le principe de Phragmén-Lindelöf". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 20 . (Corr. "Sur le principe de Phragmén-Lindelöf". 21 . 1921. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )) - Titchmarsh, Edward Charles (1976). La teoría de las funciones (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853349-7. (Ver capítulo 5)
- ED Solomentsev (2001) [1994], "Teorema de Phragmén-Lindelöf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Stein, Elias M. y Shakarchi, Rami (2003). Análisis complejo . Conferencias de Princeton en análisis, II. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-11385-8.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )