En matemáticas , la clase de Todd es una cierta construcción que ahora se considera parte de la teoría en la topología algebraica de clases características . La clase de Todd de un paquete de vectores se puede definir mediante la teoría de las clases de Chern y se encuentra donde existen las clases de Chern, sobre todo en la topología diferencial , la teoría de variedades complejas y la geometría algebraica . En términos generales, una clase de Todd actúa como un recíproco de una clase de Chern, o está en relación con ella como lo hace un paquete conormal con un paquete normal .
La clase de Todd juega un papel fundamental en la generalización del teorema clásico de Riemann-Roch a dimensiones superiores, en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch .
Historia
Lleva el nombre de JA Todd , quien introdujo un caso especial del concepto en geometría algebraica en 1937, antes de que se definieran las clases de Chern. La idea geométrica involucrada a veces se llama la clase de Todd-Eger . La definición general en dimensiones superiores se debe a Friedrich Hirzebruch .
Definición
Para definir la clase de Todd dónde es un paquete de vectores complejo en un espacio topológico , generalmente es posible limitar la definición al caso de una suma de Whitney de haces de líneas , por medio de un dispositivo general de teoría de clases característica, el uso de raíces de Chern (también conocido como el principio de división ). Para la definición, dejemos
ser la serie formal de potencias con la propiedad de que el coeficiente de en es 1, donde denota el -ésimo número de Bernoulli . Considere el coeficiente de en el producto
para cualquier . Esto es simétrico en elsy homogéneo de peso : por lo que se puede expresar como un polinomio en las funciones simétricas elementales de El s. Luegodefine los polinomios de Todd : forman una secuencia multiplicativa con como serie característica de potencia.
Si tiene el como sus raíces Chern , luego la clase Todd
que se calculará en el anillo de cohomología de (o en su finalización si se quiere considerar variedades de dimensión infinita).
La clase de Todd se puede dar explícitamente como una serie de poder formal en las clases de Chern de la siguiente manera:
donde las clases de cohomología son las clases Chern de , y pertenecer al grupo de cohomología . Si es de dimensión finita, entonces la mayoría de los términos desaparecen y es un polinomio de las clases Chern.
Propiedades de la clase Todd
La clase de Todd es multiplicativa:
Dejar ser la clase fundamental de la sección del hiperplano. De la multiplicatividad y la secuencia exacta de Euler para el haz tangente de
uno obtiene [1]
Cálculos de la clase de Todd
Para cualquier curva algebraica la clase de Todd es solo . Desde es proyectiva, se puede incrustar en algunos y podemos encontrar usando la secuencia normal
y propiedades de las clases chern. Por ejemplo, si tenemos un título curva plana en , encontramos que la clase chern total es
dónde es la clase de hiperplano en prohibido para .
Fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch
Para cualquier gavilla F coherente en un colector complejo compacto liso M , uno tiene
dónde es su característica holomórfica de Euler ,
y su carácter Chern .
Ver también
Notas
Referencias
- Todd, JA (1937), "The Arithmetical Invariants of Algebraic Loci", Proceedings of the London Mathematical Society , 43 (1): 190-225, doi : 10.1112 / plms / s2-43.3.190 , Zbl 0017.18504
- Friedrich Hirzebruch , Métodos topológicos en geometría algebraica , Springer (1978)
- MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Clase de Todd" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press