El tomahawk es una herramienta de geometría para la trisección de ángulos , el problema de dividir un ángulo en tres partes iguales. Los límites de su forma incluyen un semicírculo y dos segmentos de línea , dispuestas de una manera que se asemeja a un hacha , un hacha de nativos americanos. [1] [2] La misma herramienta también se ha llamado cuchillo de zapatero , [3] pero ese nombre se usa más comúnmente en geometría para referirse a una forma diferente, los arbelos (un triángulo curvilíneo delimitado por tres semicírculos mutuamente tangentes). [4]
Descripción
La forma básica de un tomahawk consiste en un semicírculo (la "hoja" del tomahawk), con un segmento de línea de la longitud del radio que se extiende a lo largo de la misma línea que el diámetro del semicírculo (cuya punta es la "espiga" "del tomahawk), y con otro segmento de línea de longitud arbitraria (el" mango "del tomahawk) perpendicular al diámetro. Para convertirlo en una herramienta física, su mango y su púa se pueden engrosar, siempre que el segmento de línea a lo largo del mango continúe formando parte del límite de la forma. A diferencia de una trisección relacionada que usa una escuadra de carpintero , el otro lado del mango engrosado no necesita estar paralelo a este segmento de línea. [1]
En algunas fuentes se usa un círculo completo en lugar de un semicírculo, [5] o el tomahawk también se engrosa a lo largo del diámetro de su semicírculo, [6] pero estas modificaciones no hacen ninguna diferencia en la acción del tomahawk como trisector.
Trisección
Para usar el tomahawk para trisecar un ángulo, se coloca con la línea del mango tocando el vértice del ángulo, con la hoja dentro del ángulo, tangente a uno de los dos rayos que forman el ángulo, y con la punta tocando el otro rayo de el ángulo. Una de las dos líneas trisectantes se encuentra en el segmento del mango y la otra pasa por el punto central del semicírculo. [1] [6] Si el ángulo que se va a trisecar es demasiado agudo en relación con la longitud del mango del tomahawk, es posible que no sea posible colocar el tomahawk en el ángulo de esta manera, pero esta dificultad se puede solucionar doblando repetidamente el ángulo hasta que sea lo suficientemente grande para que el hacha de guerra lo triseque, y luego bisecará repetidamente el ángulo trisecado la misma cantidad de veces que se duplicó el ángulo original. [2]
Si el vértice del ángulo está etiquetado como A , el punto de tangencia de la hoja es B , el centro del semicírculo es C , la parte superior del mango es D y la punta es E , entonces los triángulos ACD y ADE son ambos rectos. triángulos con una base compartida e igual altura, por lo que son triángulos congruentes . Debido a que los lados AB y BC del triángulo ABC son respectivamente una tangente y un radio del semicírculo, están en ángulos rectos entre sí y ABC también es un triángulo rectángulo; tiene la misma hipotenusa que ACD y las mismas longitudes de lado BC = CD , por lo que nuevamente es congruente con los otros dos triángulos, lo que muestra que los tres ángulos formados en el vértice son iguales. [5] [6]
Aunque el hacha de guerra puede construirse usando un compás y una regla , [7] y puede usarse para trisecar un ángulo, no contradice el teorema de 1837 de Pierre Wantzel de que los ángulos arbitrarios no se pueden trisecar solo con el compás y la regla sin marcar. [8] La razón de esto es que colocar el tomahawk construido en la posición requerida es una forma de neusis que no está permitida en construcciones con brújula y regla. [9]
Historia
Se desconoce el inventor del hacha de guerra, [1] [10] pero las primeras referencias provienen de la Francia del siglo XIX. Se remonta al menos a 1835, cuando apareció en un libro de Claude Lucien Bergery , Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers (3ª edición). [1] Henri Brocard hizo otra publicación temprana de la misma trisección en 1877; [11] Brocard, a su vez, atribuye su invención a unas memorias de 1863 del oficial naval francés Pierre-Joseph Glotin . [12] [13] [14]
Referencias
- ^ a b c d e Yates, Robert C. (1941), "El problema de la trisección, Capítulo III: Trisectores mecánicos", Revista Nacional de Matemáticas , 15 (6): 278-293, JSTOR 3028413 , MR 1569903.
- ^ a b Gardner, Martin (1975), Mathematical Carnival: desde rompecabezas de monedas, barajas de cartas y trucos de calculadoras relámpago hasta paseos en montaña rusa hacia la cuarta dimensión , Knopf, págs. 262–263.
- ^ Dudley, Underwood (1996), The Trisectors , MAA Spectrum (2ª ed.), Cambridge University Press, págs. 14-16, ISBN 9780883855140.
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), "9.4 El cuchillo de zapatero y el salero", Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics , Dolciani Mathematical Expositions, 42 , Asociación Matemática de América, pp. 147-148, ISBN 9780883853481.
- ^ a b Meserve, Bruce E. (1982), Conceptos fundamentales de álgebra , Publicaciones Courier Dover, p. 244, ISBN 9780486614700.
- ^ a b c Isaacs, I. Martin (2009), Geometría para estudiantes universitarios , textos universitarios puros y aplicados, 8 , American Mathematical Society, págs. 209–210, ISBN 9780821847947.
- ^ Eves, Howard Whitley (1995), College Geometry , Jones & Bartlett Learning, pág. 191, ISBN 9780867204759.
- ^ Wantzel, L. (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), 1 (2): 366–372.
- ^ La palabra "neusis" es descrita por La Nave, Federica; Mazur, Barry (2002), "Reading Bombelli", The Mathematical Intelligencer , 24 (1): 12-21, doi : 10.1007 / BF03025306 , MR 1889932en el sentido de "una familia de construcciones que dependen de un solo parámetro" en la que, a medida que varía el parámetro, se produce algún cambio combinatorio en la construcción en el valor de parámetro deseado. La Nave y Mazur describen otras trisecciones distintas al tomahawk, pero aquí se aplica la misma descripción: un tomahawk colocado con su mango en el ápice, parametrizado por la posición de la punta en su rayo, da una familia de construcciones en las que las posiciones relativas de la hoja y su rayo cambian cuando la punta se coloca en el punto correcto.
- ^ Aaboe, Asger (1997), Episodios de la Historia Temprana de las Matemáticas , Nueva Biblioteca Matemática, 13 , Asociación Matemática de América, p. 87, ISBN 9780883856130.
- ^ Brocard, H. (1877), "Note sur la division mécanique de l'angle" , Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés), 5 : 43–47.
- ^ Glotin (1863), "De quelques moyens pratiques de diviser les angles en Parties égales" , Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux (en francés), 2 : 253-278.
- ^ George E. Martin (1998), "Prefacio" , Construcciones geométricas , Springer
- ^ Dudley (1996) escribe incorrectamente estos nombres como Bricard y Glatin.
enlaces externos
- Trisección con herramientas especiales: "Tomahawk" , Takaya Iwamoto, 2006, con una herramienta de tomahawk hecha de vinilo transparente y comparaciones de precisión con otros trisectores.
- Weisstein, Eric W. , "Tomahawk" , MathWorld
- Heptágono de construcción con tomahawk, animación.