La neusis (del griego νεῦσις del νεύειν neuein "inclinación hacia"; plural: νεύσεις neuseis ) es un método de construcción geométrica que fue utilizado en la antigüedad por los matemáticos griegos.
Construcción geométrica
La construcción neusis consiste en montar un elemento de línea de longitud dada ( una ) en entre dos líneas dadas ( l y m ), de tal manera que el elemento de línea, o su extensión, pasa a través de un punto dado P . Esto es, un extremo del elemento de línea tiene que se encuentran en l , el otro extremo en m , mientras que el elemento de línea es "inclinado" hacia P .
El punto P se llama polo de la neusis, la línea l es la directriz o línea guía y la línea m es la línea de captura. La longitud a se llama diastema (διάστημα; en griego, "distancia").
La construcción de una neusis se puede realizar por medio de una 'regla neusis': una regla marcada que puede rotar alrededor del punto P (esto se puede hacer colocando un alfiler en el punto P y luego presionando la regla contra el alfiler). En la figura, un extremo de la regla está marcado con un ojo amarillo con una cruz: este es el origen de la división de escala en la regla. Una segunda marca en la regla (el ojo azul) indica la distancia a desde el origen. El ojo amarillo se mueve a lo largo de la línea l , hasta que el ojo azul coincide con la línea m . La posición del elemento de línea así encontrado se muestra en la figura como una barra azul oscuro.
Uso de la neusis
Los Neuseis han sido importantes porque a veces proporcionan un medio para resolver problemas geométricos que no se pueden resolver solo con el compás y la regla . Algunos ejemplos son la trisección de cualquier ángulo en tres partes iguales, la duplicación del cubo y la construcción de un heptágono , nonágono o tridecágono regular ( polígonos con 7, 9 o 13 lados). [1] Matemáticos como Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) y Papo de Alejandría (290-350 d. C.) usaban neuseis libremente ; Sir Isaac Newton (1642-1726) siguió su línea de pensamiento y también utilizó construcciones de neusis. [2] Sin embargo, gradualmente la técnica dejó de utilizarse.
Se sabe que un n -gon regular es construible con la neusis para n =
- 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, ... (secuencia A122254 en la OEIS ), modificada por el reciente hallazgo de Benjamin y Snyder de que el endecágono regular es neusis-construible, [3]
mientras que se sabe que un n -gon regular no es construible con la neusis para n =
- 23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, ... (secuencia A048136 en la OEIS ), igualmente modificado.
con el estado todavía una pregunta abierta para n =
- 25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, ...
Popularidad menguante
TL Heath , el historiador de las matemáticas, ha sugerido que el matemático griego Oenopides (ca. 440 aC) fue el primero en poner construcciones de compás y regla por encima de neuseis . El principio de evitar la neuseis siempre que sea posible puede haber sido difundido por Hipócrates de Quíos (ca. 430 a. C.), que se originó en la misma isla que Enópides y que fue, hasta donde sabemos, el primero en escribir un libro de texto de geometría ordenado sistemáticamente. . Cien años después de él, Euclides también rechazó a los neuseis en su influyente libro de texto, Los elementos .
El siguiente ataque contra el neusis se produjo cuando, desde el siglo IV aC, Platón 's idealismo terreno ganado. Bajo su influencia se desarrolló una jerarquía de tres clases de construcciones geométricas. Descendiendo de lo "abstracto y noble" a lo "mecánico y terrenal", las tres clases eran:
- construcciones con líneas rectas y círculos únicamente (compás y regla);
- construcciones que además de esto utilizan secciones cónicas ( elipses , parábolas , hipérbolas );
- construcciones que necesitaban otros medios de construcción, por ejemplo neuseis .
Al final, el uso de neusis se consideró aceptable solo cuando las otras dos categorías superiores de construcciones no ofrecían una solución. Neusis se convirtió en una especie de último recurso que se invocaba solo cuando todos los demás métodos más respetables habían fallado. El difunto matemático griego Pappus de Alejandría (ca. 325 d.C.) calificó el uso de neusis donde podrían haberse utilizado otros métodos de construcción como "un error nada despreciable".
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Construcción de Neusis". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/NeusisConstruction.html
- ↑ Guicciardini, Niccolò (2009). Isaac Newton sobre Certeza y método matemáticos, Número 4 . Prensa del MIT . pag. 68. ISBN 9780262013178.
- ^ Benjamín, Elliot; Snyder, C (mayo de 2014). "Sobre la construcción del endecágono regular mediante regla marcada y compás" . Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 156 (3): 409–424. doi : 10.1017 / S0305004113000753 . Archivado desde el original el 26 de septiembre de 2020 . Consultado el 26 de septiembre de 2020 .
- R. Boeker, 'Neusis', en: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft , G. Wissowa rojo. (1894–), Suplemento 9 (1962) 415–461. – En alemán. La encuesta más completa; sin embargo, el autor a veces tiene opiniones bastante curiosas.
- TL Heath , Historia de las matemáticas griegas (2 volúmenes; Oxford 1921).
- HG Zeuthen , Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= La teoría de las secciones cónicas en la antigüedad] (Copenhague 1886; reimpreso Hildesheim 1966).
enlaces externos
- Página MathWorld
- Trisección de ángulo mediante plegado de papel