Topología coherente

En topología , una topología coherente es una topología que está determinada únicamente por una familia de subespacios . Hablando libremente, un espacio topológico es coherente con una familia de subespacios si es una unión topológica de esos subespacios. A veces también se la denomina topología débil generada por la familia de subespacios, una noción que es bastante diferente de la noción de una topología débil generada por un conjunto de mapas. ^[1]

Sea un espacio topológico y sea una familia de subconjuntos de con topología subespacial. (Normalmente será una cobertura de ). Entonces se dice que es coherente con (o está determinada por ) ^[2] si la topología de se recupera como la que proviene de la topología final coinducida por los mapas de inclusión ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C = \ left \ {C _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \ right \}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X}$

Lo anterior no es cierto si no cubre ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X.}$

Dado un espacio topológico y cualquier familia de subespacios, existe una topología única en (el conjunto subyacente de) que es coherente con Esta topología, en general, será más fina que la topología dada en ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C.}$ ${\ Displaystyle X.}$

Sea una familia de espacios topológicos (no necesariamente disjuntos ) de manera que las topologías inducidas coincidan en cada intersección. Suponga además que está cerrado para cada uno. Entonces la unión topológica es la unión de la teoría de conjuntos. ${\ Displaystyle \ left \ {X _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \ right \}}$ ${\ Displaystyle X _ {\ alpha} \ cap X _ {\ beta}.}$ ${\ Displaystyle X _ {\ alpha} \ cap X _ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle X _ {\ alpha}}$ ${\ Displaystyle \ alpha, \ beta \ in A.}$ ${\ Displaystyle X}$