En topología general y áreas relacionadas de las matemáticas , la topología inicial (o topología inducida [1] [2] o topología débil o topología límite o topología proyectiva ) en un conjunto , con respecto a una familia de funciones en , es la topología más burda en X que hace que esas funciones sean continuas .
La topología del subespacio y las construcciones de la topología del producto son casos especiales de topologías iniciales. De hecho, la construcción de la topología inicial puede verse como una generalización de estos.
La noción dual es la topología final , que para una familia dada de funciones mapeando a un conjuntoes la mejor topología en que hace que esas funciones sean continuas.
Definición
Dado un conjunto X y una familia indexada ( Y i ) i ∈ I de espacios topológicos con funciones
la topología inicial en es la topología más burda en X, de modo que cada
es continuo .
Explícitamente, la topología inicial es la colección de conjuntos abiertos generados por todos los conjuntos del formulario, dónde es un set abierto enpara algunos i ∈ I , bajo intersecciones finitas y uniones arbitrarias. Los conjuntosa menudo se denominan conjuntos de cilindros . Si lo contiene exactamente un elemento, todos los conjuntos abiertos de son conjuntos de cilindros.
Ejemplos de
Varias construcciones topológicas pueden considerarse casos especiales de la topología inicial.
- La topología del subespacio es la topología inicial en el subespacio con respecto al mapa de inclusión .
- La topología del producto es la topología inicial con respecto a la familia de mapas de proyección .
- El límite inverso de cualquier sistema inverso de espacios y mapas continuos es el límite inverso de la teoría de conjuntos junto con la topología inicial determinada por los morfismos canónicos.
- La topología débil en un espacio localmente convexo es la topología inicial con respecto a las formas lineales continuas de su espacio dual .
- Dada una familia de topologías { τ i } en un conjunto fijo X, la topología inicial en X con respecto a las funciones id i : X → ( X , τ i ) es el supremo (o unión) de las topologías {τ i } en la celosía de topologías en X . Es decir, la topología inicial τ es la topología generada por la unión de las topologías { τ i }.
- Un espacio topológico es completamente regular si y solo si tiene la topología inicial con respecto a su familia de funciones continuas de valor real ( acotadas ).
- Cada espacio topológico X tiene la topología inicial con respecto a la familia de funciones continuas desde X hasta el espacio de Sierpiński .
Propiedades
Propiedad característica
La topología inicial en X se puede caracterizar por la siguiente propiedad característica:
Una función desde algún espacio a es continuo si y solo si es continua para cada i ∈ I .
Tenga en cuenta que, a pesar de parecer bastante similar, esta no es una propiedad universal. A continuación se ofrece una descripción categórica.
Evaluación
Por la propiedad universal de la topología del producto , sabemos que cualquier familia de mapas continuos determina un mapa continuo único
Este mapa se conoce como mapa de evaluación .
Una familia de mapas se dice que separa puntos en X si para todosen X existe una i tal que. Claramente, la familiasepara puntos si y solo si el mapa de evaluación asociado f es inyectivo .
El mapa de evaluación f será una incrustación topológica si y solo si X tiene la topología inicial determinada por los mapasy esta familia de mapas separa los puntos en X .
Separar puntos de conjuntos cerrados
Si un espacio X viene equipado con una topología, a menudo es útil saber si o no la topología en X es la topología inicial inducida por algunos familiares de mapas en X . Esta sección proporciona una condición suficiente (pero no necesaria).
Una familia de mapas { f i : X → Y i } separa puntos de conjuntos cerrados en X si para todos los conjuntos cerrados A en X y todo x no en A , existe algo i tal que
donde cl denota el operador de cierre .
- Teorema . Una familia de mapas continuos { f i : X → Y i } separa puntos de conjuntos cerrados si y solo si el cilindro se establece , Por U abierta en Y i , formar una base para la topología en X .
De ello se deduce que siempre que { f i } separa puntos de conjuntos cerrados, el espacio X tiene la topología inicial inducida por los mapas { f i }. Lo contrario falla, ya que generalmente los conjuntos de cilindros solo formarán una subbase (y no una base) para la topología inicial.
Si el espacio X es un espacio T 0 , entonces cualquier colección de mapas { f i } que separe puntos de conjuntos cerrados en X también debe separar puntos. En este caso, el mapa de evaluación será una incrustación.
Descripción categórica
En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción de la topología inicial se puede describir como sigue. Dejarser el funtor de una categoría discreta a la categoría de espacios topológicos que mapas . Dejarser el functor olvidadizo habitual de a . Los mapasentonces puede pensarse como un cono de a . Es decir, es un objeto de —La categoría de conos a. Más precisamente, este cono define un -cosink estructurado en .
El functor olvidadizo induce un functor . La propiedad característica de la topología inicial es equivalente a la afirmación de que existe un morfismo universal de a , es decir: un objeto terminal en la categoría .
Explícitamente, esto consiste en un objeto en junto con un morfismo tal que para cualquier objeto en y morfismo existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta:
La asignación colocando la topología inicial en se extiende a un functor que es adyacente al functor olvidadizo. De echo, es un inverso a la derecha de ; desde es el functor de identidad en .
Ver también
- Topología final
- Topología inducida
Referencias
- ^ Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- ^ Adamson, Iain T. (1996). "Topologías inducidas y coinducidas" . Un libro de trabajo de topología general . Birkhäuser, Boston, MA. pag. 23. doi : 10.1007 / 978-0-8176-8126-5_3 . Consultado el 21 de julio de 2020 .
... la topología inducida en E por la familia de asignaciones ...
Fuentes
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
- "Topología inicial" . PlanetMath .
- "Topología de producto y topología subespacial" . PlanetMath .