En matemáticas , se dice que dos funciones están topológicamente conjugadas entre sí si existe un homeomorfismo que conjugará la una en la otra. La conjugación topológica es importante en el estudio de funciones iteradas y, más en general , sistemas dinámicos , ya que, si la dinámica de una función iterada puede resolverse, las de cualquier función conjugada topológicamente siguen trivialmente.
Para ilustrar esto directamente: supongamos que y son funciones iteradas, y existe un homeomorfismo tal que
así que eso y se conjugan topológicamente. Entonces uno debe tener
y así los sistemas iterados también se conjugan topológicamente. Aquí,denota composición de funciones .
Definición
, y son funciones continuas en espacios topológicos , y .
siendo topológicamente semiconjugado a significa, por definición, que es una sobreyección tal que.
y ser topológicamente conjugado significa, por definición, que son topológicamente semiconjugado yes además inyectiva , luego biyectiva , y su inversa también es continua ; es decires un homeomorfismo ; más,se denomina una conjugación topológica entre y .
Flujos
Similar, en , y en son flujos , con, y como anteriormente.
siendo topológicamente semiconjugado a significa, por definición, que es una sobreyección tal que, para cada , .
y ser topológicamente conjugado significa, por definición, que son topológicamente semiconjugados y h es un homeomorfismo.
Ejemplos de
- El mapa logístico y el mapa de la tienda están topológicamente conjugados. [1]
- El mapa logístico de la unidad de altura y el mapa de Bernoulli están topológicamente conjugados. [ cita requerida ]
- Para ciertos valores en el espacio de parámetros, el mapa de Hénon cuando se restringe a su conjunto de Julia es topológicamente conjugado o semi-conjugado al mapa de desplazamiento en el espacio de secuencias de dos lados en dos símbolos. [2]
Discusión
La conjugación topológica, a diferencia de la semiconjugación, define una relación de equivalencia en el espacio de todas las sobreyecciones continuas de un espacio topológico consigo mismo, declarando y estar relacionados si son topológicamente conjugados. Esta relación de equivalencia es muy útil en la teoría de sistemas dinámicos , ya que cada clase contiene todas las funciones que comparten la misma dinámica desde el punto de vista topológico. Por ejemplo, las órbitas de se asignan a las órbitas homeomórficas de a través de la conjugación. Escritura hace evidente este hecho: . Hablando informalmente, la conjugación topológica es un "cambio de coordenadas" en el sentido topológico.
Sin embargo, la definición análoga de flujos es algo restrictiva. De hecho, estamos solicitando los mapas y ser topológicamente conjugado para cada , que requiere más que simplemente las órbitas de ser mapeado a las órbitas de homeomórficamente. Esto motiva la definición de equivalencia topológica , que también divide el conjunto de todos los flujos en en clases de flujos que comparten la misma dinámica, nuevamente desde el punto de vista topológico.
Equivalencia topológica
Decimos que dos flujos y son topológicamente equivalentes , si hay un homeomorfismo, mapeo de las órbitas de a las órbitas de homeomórficamente y conservando la orientación de las órbitas. En otras palabras, dejar denotar una órbita, uno tiene
para cada . Además, uno debe alinear el flujo del tiempo: para cada, existe un tal que, si , y si s es tal que, luego .
En general, la equivalencia topológica es un criterio de equivalencia más débil que la conjugación topológica, ya que no requiere que el término de tiempo se mapee junto con las órbitas y su orientación. Un ejemplo de un sistema topológicamente equivalente pero no topológicamente conjugado sería la clase no hiperbólica de sistemas bidimensionales de ecuaciones diferenciales que tienen órbitas cerradas. Si bien las órbitas pueden transformarse entre sí para superponerse en el sentido espacial, los períodos de tales sistemas no pueden coincidir de manera análoga, por lo que no se satisface el criterio de conjugación topológica y al mismo tiempo se satisface el criterio de equivalencia topológica.
Equivalencia lisa y orbital
Se pueden estudiar más criterios de equivalencia si los flujos, y , surgen de ecuaciones diferenciales.
Dos sistemas dinámicos definidos por las ecuaciones diferenciales, y , se dice que son suavemente equivalentes si hay un difeomorfismo ,, tal que
En ese caso, los sistemas dinámicos se pueden transformar entre sí mediante la transformación de coordenadas, .
Dos sistemas dinámicos en el mismo espacio de estados, definido por y , se dice que son orbitalmente equivalentes si hay una función positiva,, tal que . Los sistemas orbitalmente equivalentes difieren solo en la parametrización del tiempo.
Los sistemas que son suavemente equivalentes o orbitalmente equivalentes también son topológicamente equivalentes. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Por ejemplo, considere sistemas lineales en dos dimensiones de la forma. Si la matriz,, tiene dos valores propios reales positivos, el sistema tiene un nodo inestable; si la matriz tiene dos valores propios complejos con una parte real positiva, el sistema tiene un foco inestable (o espiral). Los nodos y focos son topológicamente equivalentes pero no orbitalmente equivalentes o suavemente equivalentes, [3] porque sus valores propios son diferentes (observe que los jacobianos de dos sistemas localmente equivalentes deben ser similares , por lo que sus valores propios, así como las multiplicidades algebraicas y geométricas , igualarse).
Generalizaciones de conjugación topológica dinámica
Hay dos extensiones informadas del concepto de conjugación topológica dinámica:
Ver también
Referencias
- ^ Alligood, KT, Sauer, T. y Yorke, JA (1997). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Saltador. págs. 114-124. ISBN 0-387-94677-2.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Devaney, R .; Nitecki, Z. (1979). "Automorfismos de cambio en el mapeo de Hénon" . Comm. Matemáticas. Phys . 67 (2): 137-146. Código Bibliográfico : 1979CMaPh..67..137D . doi : 10.1007 / bf01221362 . Consultado el 2 de septiembre de 2016 .
- ^ Kuznetsov, Yuri A. (1998). Elementos de la teoría de la bifurcación (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98382-1.
- ^ "Complejidad y dinámica categórica" . Archivado desde el original el 19 de agosto de 2009.
- ^ "Sistemas análogos, conjugados topológicos y sistemas adjuntos" . Archivado desde el original el 25 de febrero de 2015.
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