El mapa de Hénon , a veces llamado mapa / atractor de Hénon-Pomeau , [1] es un sistema dinámico de tiempo discreto . Es uno de los ejemplos más estudiados de sistemas dinámicos que exhiben un comportamiento caótico . El mapa de Hénon toma un punto ( x n , y n ) en el plano y lo asigna a un nuevo punto
El mapa depende de dos parámetros, un y b , que para el mapa clásica Hénon tienen valores de un = 1,4 y b = 0,3. Para los valores clásicos, el mapa de Hénon es caótico. Para otros valores de una y b el mapa pueden ser caótico, intermitente , o converger a una órbita periódica . Se puede obtener una descripción general del tipo de comportamiento del mapa a diferentes valores de parámetros a partir de su diagrama de órbita .
El mapa fue presentado por Michel Hénon como un modelo simplificado de la sección de Poincaré del modelo de Lorenz . Para el mapa clásico, un punto inicial del plano se acercará a un conjunto de puntos conocidos como el atractor extraño de Hénon o divergerá hasta el infinito. El atractor de Hénon es un fractal , suave en una dirección y Cantor en otra. Las estimaciones numéricas producen una dimensión de correlación de 1,25 ± 0,02 [2] y una dimensión de Hausdorff de 1,261 ± 0,003 [3] para el atractor del mapa clásico.
Atractor
El mapa de Hénon mapea dos puntos en sí mismos: estos son los puntos invariantes. Para los valores clásicos de una y B del mapa de henon, uno de estos puntos es el atractor:
Este punto es inestable. Los puntos cercanos a este punto fijo ya lo largo de la pendiente 1.924 se acercarán al punto fijo y los puntos a lo largo de la pendiente -0.156 se alejarán del punto fijo. Estas pendientes surgen de las linealizaciones de la variedad estable y la variedad inestable del punto fijo. La variedad inestable del punto fijo en el atractor está contenida en el atractor extraño del mapa de Hénon.
El mapa de henon no tiene un atractor extraño para todos los valores de los parámetros de una y b . Por ejemplo, al mantener b fijo en 0.3, el diagrama de bifurcación muestra que para a = 1.25 el mapa de Hénon tiene una órbita periódica estable como atractor.
Cvitanović y col. han demostrado cómo la estructura del atractor extraño de Hénon puede entenderse en términos de órbitas periódicas inestables dentro del atractor.
Descomposición
El mapa de Hénon se puede descomponer en una curva que preserva el área:
- ,
una contracción en la dirección x :
- ,
y una reflexión en la línea y = x :
- .
Descomposición unidimensional
El mapa de Hénon también se puede deconstruir en un mapa unidimensional, definido de manera similar a la secuencia de Fibonacci .
Casos especiales y órbitas de período bajo
Si se resuelve el mapa de Hénon unidimensional para el caso especial:
Se llega al cuadrádico simple:
O
La fórmula cuadrática produce:
En el caso especial b = 1, esto se simplifica a
Si, además, a tiene la forma la fórmula se simplifica aún más para
En la práctica, el punto de partida (X, X) seguirá un bucle de 4 puntos en dos dimensiones que pasa por todos los cuadrantes.
Historia
En 1976 Francia, el atractor de Lorenz es analizado por el físico Yves Pomeau quien realiza una serie de cálculos numéricos con JL Ibáñez. [4] El análisis produce una especie de complemento al trabajo de Ruelle (y Lanford) presentado en 1975. Es el atractor de Lorenz, es decir, el correspondiente a las ecuaciones diferenciales originales, y su estructura geométrica lo que les interesa. . Pomeau e Ibanez combinan sus cálculos numéricos con los resultados del análisis matemático, basados en el uso de secciones de Poincaré. El estiramiento, el plegado, la sensibilidad a las condiciones iniciales se incorporan naturalmente a este contexto en relación con el atractor de Lorenz. Si el análisis es en última instancia muy matemático, Pomeau e Ibáñez siguen, en cierto sentido, un enfoque físico, experimentando numéricamente con el sistema de Lorenz.
Estas experiencias traen dos aperturas específicamente. Permiten resaltar un comportamiento singular del sistema de Lorenz: hay una transición, caracterizada por un valor crítico de los parámetros del sistema, por lo que el sistema pasa de una posición atractora extraña a una configuración en un ciclo límite. La importancia será revelada por el propio Pomeau (y un colaborador, Paul Manneville) a través del "escenario" de Intermittency , propuesto en 1979.
El segundo camino sugerido por Pomeau e Ibáñez es la idea de realizar sistemas dinámicos aún más simples que el de Lorenz, pero con características similares, y que permitirían probar con mayor claridad "evidencias" sacadas a la luz mediante cálculos numéricos. Dado que el razonamiento se basa en la sección de Poincaré, propone producir una aplicación del plano en sí mismo, más que una ecuación diferencial, imitando el comportamiento de Lorenz y su extraño atractor. Construye uno de manera ad hoc que le permite basar mejor su razonamiento.
En enero de 1976, Pomeau presentó su trabajo durante un seminario impartido en el Observatorio Côte d'Azur, al que asistió Michel Hénon. Michel Hénon utiliza la sugerencia de Pomeau para obtener un sistema simple con un atractor extraño. [5] [6]
Ver también
Notas
- ^ Sección 13.3.2; Hsu, Chieh Su. Mapeo de celda a celda: un método de análisis global para sistemas no lineales . Vol. 64. Springer Science & Business Media, 2013
- ^ P. Grassberger; I. Procaccia (1983). "Midiendo la extrañeza de atractores extraños". Physica . 9D (1–2): 189–208. Código Bibliográfico : 1983PhyD .... 9..189G . doi : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1 .
- ^ DA Russell; JD Hanson; E. Ott (1980). "Dimensión de atractores extraños". Cartas de revisión física . 45 (14): 1175. Código Bibliográfico : 1980PhRvL..45.1175R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.45.1175 .
- ^ "Pomeau_Ibanez 1976" .
- ^ "L'attracteur de Hénon" .
- ^ "Deux exemples français: Yves Pomeau et Michel Hénon" .
Referencias
- M. Hénon (1976). "Un mapeo bidimensional con un atractor extraño". Comunicaciones en Física Matemática . 50 (1): 69–77. Código bibliográfico : 1976CMaPh..50 ... 69H . doi : 10.1007 / BF01608556 .
- Predrag Cvitanović; Gemunu Gunaratne; Itamar Procaccia (1988). "Propiedades topológicas y métricas de atractores extraños tipo Hénon". Physical Review A . 38 (3): 1503-1520. Código Bibliográfico : 1988PhRvA..38.1503C . doi : 10.1103 / PhysRevA.38.1503 . PMID 9900529 .
- Carles Simó (1979). "Sobre el atractor de Hénon-Pomeau". Revista de física estadística . 21 : 465–494.
- Michel Hénon e Yves Pomeau (1976). "Dos atractores extraños con una estructura simple". Turbulencia y ecuaciones de Navier Stokes . Springer: 29–68.
- M. Michelitsch; OE Rössler (1989). "Una nueva característica en el mapa de Hénon" . Computadoras y Gráficos . 13 (2): 263-265. doi : 10.1016 / 0097-8493 (89) 90070-8 .. Reimpreso en: Chaos and Fractals, A Computer Graphical Journey: Compilación de diez años de investigación avanzada (Ed. CA Pickover). Amsterdam, Países Bajos: Elsevier, págs. 69–71, 1998
- Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de la dimensión del atractor para sistemas dinámicos: teoría y cálculo . Cham: Springer.
enlaces externos
- Mapa interactivo de Henon y atractor de Henon en Chaotic Maps
- Otra iteración interactiva del mapa de Henon por A. Luhn
- Diagrama de órbita del mapa de Hénon por C. Pellicer-Lostao y R. Lopez-Ruiz después del trabajo de Ed Pegg Jr, The Wolfram Demonstrations Project .
- Código Matlab para el mapa Hénon de M.Suzen
- Simulación del mapa de Hénon en javascript (experiencias.math.cnrs.fr) por Marc Monticelli.