En geometría algebraica y teoría de números , la conjetura de torsión o conjetura de acotación uniforme para puntos de torsión para variedades abelianas establece que el orden del grupo de torsión de una variedad abeliana sobre un campo numérico puede estar acotado en términos de la dimensión de la variedad y el número. campo. Una versión más fuerte de la conjetura es que la torsión está limitada en términos de la dimensión de la variedad y el grado del campo numérico. La conjetura de la torsión se ha resuelto por completo en el caso de las curvas elípticas .
De 1906 a 1911, Beppo Levi publicó una serie de artículos que investigaban los posibles órdenes finitos de puntos en las curvas elípticas sobre los racionales. [1] Mostró que hay infinitas curvas elípticas sobre los racionales con los siguientes grupos de torsión:
En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1908 en Roma, Levi conjeturó que esta es una lista completa de grupos de torsión para curvas elípticas sobre las racionales. [1] La conjetura de torsión para curvas elípticas sobre los racionales fue reformulada independientemente por Trygve Nagell ( 1952 ) y nuevamente por Andrew Ogg ( 1971 ), y la conjetura se conoce comúnmente como conjetura de Ogg . [1]
Andrew Ogg ( 1971 ) trazó la conexión entre la conjetura de torsión para las curvas elípticas sobre las racionales y la teoría de las curvas modulares clásicas . [1] A principios de la década de 1970, el trabajo de Gérard Ligozat, Daniel Kubert , Barry Mazur y John Tate mostró que varios valores pequeños de n no ocurren como órdenes de puntos de torsión en curvas elípticas sobre las racionales. [1] Barry Mazur ( 1977 , 1978 ) demostró la conjetura de torsión completa para curvas elípticas sobre las racionales. Sus técnicas fueron generalizadas por Kamienny (1992) yKamienny y Mazur (1995) , quienes obtuvieron delimitación uniforme para campos cuadráticos y campos numéricos de grado como máximo 8 respectivamente. Finalmente, Loïc Merel ( 1996 ) demostró la conjetura de las curvas elípticas sobre cualquier campo numérico. [1]
Parent (1999) proporcionó un límite efectivo para el tamaño del grupo de torsión en términos del grado del campo numérico . También se ha proporcionado una lista completa de posibles grupos de torsión para curvas elípticas sobre campos numéricos cuadráticos. Hay resultados parciales sustanciales para los campos de números cuárticos y quínticos ( Sutherland 2012 ).