En teoría de números , la curva modular clásica es una curva algebraica plana irreducible dada por una ecuación
- Φ n ( x , y ) = 0 ,
tal que ( x , y ) = ( j ( nτ ), j ( τ )) es un punto en la curva. Aquí j ( τ ) denota la j invariante .
La curva a veces se llama X 0 ( n ) , aunque a menudo esa notación se usa para la curva algebraica abstracta para la que existen varios modelos. Un objeto relacionado es el polinomio modular clásico , un polinomio en una variable definida como Φ n ( x , x ) .
Es importante señalar que las curvas modulares clásicas son parte de la teoría más amplia de las curvas modulares . En particular, se tiene otra expresión como cociente compactificada del complejo superior semiplano H .
Geometría de la curva modular
La curva modular clásica, que llamaremos X 0 ( n ) , es de grado mayor o igual a 2 n cuando n > 1 , con igualdad si y solo si n es primo. El polinomio Φ n tiene coeficientes enteros y, por lo tanto, se define en todos los campos. Sin embargo, los coeficientes son lo suficientemente grandes como para que el trabajo computacional con la curva pueda resultar difícil. Como polinomio en x con coeficientes en Z [ y ] , tiene grado ψ ( n ) , donde ψ es la función psi de Dedekind . Dado que Φ n ( x , y ) = Φ n ( y , x ) , X 0 ( n ) es simétrico alrededor de la línea y = x , y tiene puntos singulares en las raíces repetidas del polinomio modular clásico, donde se cruza en el plano complejo. Estas no son las únicas singularidades, y en particular cuando n > 2 , hay dos singularidades en el infinito, donde x = 0, y = ∞ y x = ∞, y = 0 , que tienen solo una rama y por lo tanto tienen un nudo invariante que es un verdadero nudo, y no solo un vínculo.
Parametrización de la curva modular
Para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18 o 25 , X 0 ( n ) tiene género cero y, por lo tanto, se puede parametrizar [1 ] por funciones racionales. El ejemplo no trivial más simple es X 0 (2) , donde:
es (hasta el término constante) la serie de McKay-Thompson para la clase 2B del Monstruo , y η es la función eta de Dedekind , entonces
parametriza X 0 (2) en términos de funciones racionales de j 2 . No es necesario calcular j 2 para utilizar esta parametrización; se puede tomar como un parámetro arbitrario.
Mapeos
Una curva C , sobre Q se llama curva modular si para algún n existe un morfismo sobreyectivo φ : X 0 ( n ) → C , dado por un mapa racional con coeficientes enteros. El famoso teorema de la modularidad nos dice que todas las curvas elípticas sobre Q son modulares.
Los mapeos también surgen en conexión con X 0 ( n ) ya que los puntos en él corresponden a algunos pares n -isógenos de curvas elípticas. Una isogenia entre dos curvas elípticas es un morfismo no trivial de variedades (definido por un mapa racional) entre las curvas que también respeta las leyes de grupo y, por lo tanto, envía el punto en el infinito (que sirve como la identidad de la ley de grupo) a el punto en el infinito. Tal mapa es siempre sobreyectivo y tiene un núcleo finito, cuyo orden es el grado de isogenia. Los puntos en X 0 ( n ) corresponden a pares de curvas elípticas que admiten una isogenia de grado n con kernel cíclico.
Cuando X 0 ( n ) tiene género uno, él mismo será isomorfo a una curva elíptica, que tendrá la misma j -invariante .
Por ejemplo, X 0 (11) tiene j -invariante −2 12 11 −5 31 3 , y es isomorfo a la curva y 2 + y = x 3 - x 2 - 10 x - 20 . Si sustituimos este valor de j por y en X 0 (5) , obtenemos dos raíces racionales y un factor de grado cuatro. Las dos raíces racionales corresponden a clases de isomorfismo de curvas con coeficientes racionales que son 5-isógenos a la curva anterior, pero no isomorfos, que tienen un campo de función diferente. Específicamente, tenemos los seis puntos racionales: x = -122023936 / 161051, y = -4096 / 11, x = -122023936 / 161051, y = -52893159101157376 / 11, yx = -4096 / 11, y = -52893159101157376 / 11, además de los tres puntos de intercambio de x y y , todos en X 0 (5) , correspondientes a los seis isogenies entre estas tres curvas.
Si en la curva y 2 + y = x 3 - x 2 - 10 x - 20 , isomorfo a X 0 (11) sustituimos
y factor, obtenemos un factor extraño de una función racional de x , y la curva y 2 + y = x 3 - x 2 , con j -invariante −2 12 11 −1 . Por lo tanto, ambas curvas son modulares del nivel 11 y tienen asignaciones de X 0 (11) .
Por un teorema de Henri Carayol , si una curva elíptica E es modular entonces su conductor , una invariante isogenia describió originalmente en términos de cohomología , es el entero más pequeño n tal que existe una aplicación racional φ : X 0 ( n ) → E . Dado que ahora sabemos que todas las curvas elípticas sobre Q son modulares, también sabemos que el conductor es simplemente el nivel n de su parametrización modular mínima.
Teoría de Galois de la curva modular
Erich Hecke investigó la teoría de Galois de la curva modular . Considerada como un polinomio en x con coeficientes en Z [ y ] , la ecuación modular Φ 0 ( n ) es un polinomio de grado ψ ( n ) en x , cuyas raíces generan una extensión de Galois de Q ( y ) . En el caso de X 0 ( p ) con p primo, donde la característica del campo no es p , el grupo de Galois de Q ( x , y ) / Q ( y ) es PGL (2, p ) , el lineal general proyectivo grupo de transformaciones fraccionarias lineales de la línea proyectiva del campo de p elementos, que tiene p + 1 puntos, el grado de X 0 ( p ) .
Esta extensión contiene una extensión algebraica F / Q donde sien la notación de Gauss entonces:
Si ampliamos el campo de constantes para que sea F , ahora tenemos una extensión con el grupo de Galois PSL (2, p ) , el grupo lineal especial proyectivo del campo con p elementos, que es un grupo simple finito. Por especializada y a un elemento de campo específico, podemos, fuera de un conjunto delgado, obtener una infinidad de ejemplos de campos con Galois grupo PSL (2, p ) sobre F , y PGL (2, p ) sobre Q .
Cuando n no es un primo, los grupos de Galois se pueden analizar en términos de los factores de n como un producto de corona .
Ver también
Referencias
- Erich Hecke, Die eindeutige Bestimmung der Modulfunktionen q-ter Stufe durch algebraische Eigenschaften , Math. Ana. 111 (1935), 293-301, reimpreso en Mathematische Werke , tercera edición, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1983, 568-576 [2] [ enlace muerto permanente ]
- Anthony Knapp, Curvas elípticas , Princeton, 1992
- Serge Lang , Funciones elípticas , Addison-Wesley, 1973
- Goro Shimura, Introducción a la teoría aritmética de las funciones automórficas , Princeton, 1972
enlaces externos
- Secuencia OEIS A001617 (Género del grupo modular Gamma_0 (n). O, género de la curva modular X_0 (n))
- [3] Coeficientes de X 0 ( n )