Métrica (matemáticas)
En matemáticas , una función métrica o de distancia es una función que da una distancia entre cada par de elementos puntuales de un conjunto . Un conjunto con una métrica se llama espacio métrico . [1] Una métrica induce una topología en un conjunto, pero no todas las topologías pueden generarse mediante una métrica. Un espacio topológico cuya topología se puede describir mediante una métrica se denomina metrizable .
Una fuente importante de métricas en geometría diferencial son los tensores métricos , formas bilineales que pueden definirse a partir de los vectores tangentes de una variedad diferenciable en un escalar. Un tensor métrico permite que las distancias a lo largo de las curvas se determinen mediante integración y, por lo tanto, determina una métrica.
donde es el conjunto de números reales no negativos y para todos , se satisfacen los siguientes tres axiomas:
Una métrica (como se define) es una función de valor real no negativa. Esto, junto con el axioma 1, proporciona una condición de separación , donde los puntos distintos o separados son precisamente aquellos que tienen una distancia positiva entre ellos.
El requisito de tener codominio de es una restricción aclaratoria (pero innecesaria) en la definición, ya que si tuviéramos alguna función que cumpliera los mismos tres axiomas, se podría probar que la función aún no es negativa de la siguiente manera (usando los axiomas 1, 3 , y 2 en ese orden):
lo que implica .
