En álgebra lineal , la transposición de un mapa lineal entre dos espacios vectoriales, definidos sobre el mismo campo , es un mapa inducido entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales. La transposición o adjunto algebraico de un mapa lineal se utiliza a menudo para estudiar el mapa lineal original. Este concepto está generalizado por functores adjuntos .
Definición
Dejar denotar el espacio dual algebraico de un espacio vectorial Dejar y ser espacios vectoriales sobre el mismo campo Si es un mapa lineal , luego su algebraico adjunto o dual , [1] es el mapa definido por El funcional resultante se llama el retroceso de por
El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico (TVS) se denota por Si y son televisores y luego un mapa lineal es débilmente continuo si y solo si en cuyo caso dejamos denotar la restricción de a El mapa se llama la transposición [2] de La siguiente identidad caracteriza la transposición de [3]
- para todos y
dónde es el maridaje natural definido por
Propiedades
La asignación produce un mapa lineal inyectivo entre el espacio de operadores lineales de a y el espacio de operadores lineales de a Si entonces el espacio de mapas lineales es un álgebra bajo composición de mapas , y la asignación es entonces un antihomomorfismo de álgebras, lo que significa queEn el lenguaje de la teoría de categorías , tomar el dual de espacios vectoriales y la transposición de mapas lineales es, por lo tanto, un funtor contravariante de la categoría de espacios vectoriales sobrea sí mismo. Uno puede identificar con usando la inyección natural en el doble dual.
- Si y son mapas lineales entonces [4]
- Si es un mapa lineal, y denota el conjunto polar del conjuntoluego [4]
- y
- implica
- Si y son conjuntos convexos, débilmente cerrados que contienen 0 entonces implica [5]
- Si es un isomorfismo ( sobreyectivo ) del espacio vectorial, entonces también lo es la transposición
- El núcleo de es el subespacio de ortogonal a la imagen de [5]
- El mapa lineal es inyectiva si y solo si su imagen es un subconjunto débilmente denso de (es decir, la imagen de es denso en Cuándo se da la topología débil inducida por ). [5]
Supongamos ahora que es un operador lineal continuo entre espacios vectoriales topológicos y con espacios dobles continuos y respectivamente. Para cualquier subconjunto de dejar denotar el polar de en
- La transposición es continuo cuando ambos y están dotados de la topología débil- * (respectivamente ambos dotados de la topología dual fuerte , ambos dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos compactos, ambos dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos). [6]
- Si y son localmente convexos entonces[7]
- Si y son espacios normativos, entonces la norma de es igual a la norma de [7]
- ( Revestimiento de espacios de Fréchet ): Si y son espacios de Fréchet, entonces el operador lineal continuoes sobreyectiva si y solo si (1) la transposiciónes inyectiva , y (2) la imagen de la transpuesta dees un subconjunto débilmente cerrado (es decir, débil * cerrado) de[8]
Representación como matriz
Si el mapa lineal está representado por la matriz con respecto a dos bases de y luego está representado por la matriz de transposición con respecto a las bases duales de y de ahí el nombre. Alternativamente, como está representado por actuando a la derecha en los vectores columna, está representado por la misma matriz que actúa a la izquierda sobre los vectores de fila. Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónico en que identifica el espacio de los vectores columna con el espacio dual de los vectores fila.
Relación con el adjunto hermitiano
La identidad que caracteriza a la transposición, es decir, es formalmente similar a la definición del adjunto hermitiano , sin embargo, la transposición y el adjunto hermitiano no son el mismo mapa. La transposición es un mapa y está definido para mapas lineales entre cualquier espacio vectorial y sin requerir ninguna estructura adicional. Los mapas adjuntos de Hermitiany solo se define para mapas lineales entre espacios de Hilbert, ya que se define en términos del producto interno en el espacio de Hilbert. Por tanto, el adjunto hermitiano requiere más estructura matemática que la transposición.
Sin embargo, la transposición se usa a menudo en contextos donde los espacios vectoriales están equipados con una forma bilineal no degenerada , como el producto escalar euclidiano u otro producto interno real . En este caso, la forma bilineal no degenerada a menudo se usa implícitamente para mapear entre los espacios vectoriales y sus duales, para expresar el mapa transpuesto como un mapa. Para un espacio de Hilbert complejo, el producto interno es sesquilineal y no bilineal, y estas conversiones cambian la transposición al mapa adjunto.
Más precisamente: si y son espacios de Hilbert y es un mapa lineal, entonces la transposición de y el adjunto hermitiano de que denotaremos respectivamente por y están relacionados. Denotamos por y las isometrías antilineales canónicas de los espacios de Hilbert y en sus duales. Luegoes la siguiente composición de mapas: [9]
Aplicaciones al análisis funcional
Suponer que y son espacios vectoriales topológicos y que es un mapa lineal, entonces muchos de Las propiedades de
- Si y son conjuntos convexos débilmente cerrados que contienen el origen, entonces implica [4]
- El espacio nulo de es el subespacio de ortogonal al rango de [4]
- es inyectivo si y solo si el rango de está débilmente cerrado. [4]
Ver también
- Functores adjuntos : relación entre dos functores que abstraen muchas construcciones comunes
- Adjunto hermitiano - Dual continuo de un operador hermitiano
- Espacio dual § Transposición de un mapa lineal
- Transponer § Transponer un mapa lineal
Referencias
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 128.
- ^ Trèves , 2006 , p. 240.
- ↑ Halmos (1974 , §44)
- ↑ a b c d e Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 129–130.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 128-130.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 199-200.
- ↑ a b Trèves , 2006 , págs. 240-252.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 382-383.
- ^ Trèves , 2006 , p. 488.
Bibliografía
- Halmos, Paul (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .